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Fatoração, M.M.C. e M.D.C.



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Fatorar é decompor um número em um produto de fatores Primos. Essa frase explica muito bem o que você verá nessa publicação, além de estudarmos também sobre o M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum) e o M.D.C. (Máximo Divisor Comum).

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Concurseiro

Primeiramente veja um exemplo de fatoração dos números 20 e 27:


Acima foi dividido o número 20 e o número 27 pelos seus respectivos e menores valores Primos. No caso do 20, o menor valor Primo pelo qual podemos dividir é o número 2 e no caso do 27 o menor valor Primo é o número 3. Dessa divisão, pegamos o quociente (resultado) e dividimos novamente pelo menor fator Primo. Assim continuamos até decompor totalmente os números.

Todo número inteiro maior que um, pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores Primos.

Divisores de um número:

Vamos ver como faríamos para descobrir quais são os divisores de um número. Vamos usar como exemplo o numeral 15, primeiro devemos fatorá-lo.


Fácil até demais. Agora vamos achar os seus divisores. Para isso trace outra linha do lado direito da fatoração e coloque o numeral 1, deixando-o mais acima dos demais.


Devemos então multiplicar o primeiro fator Primo obtido - no caso é o 3 - pelo numeral 1 e o produto (resultado) nós iremos escrever logo abaixo dele.


Multiplicaremos também o 5 por 1 e depois o 5 por 3. Colocaremos esses resultados abaixo do 3.


Com isso já obtemos todos os divisores de 15, que são os números que estão em azul mais o 1, pois o 1 é divisor de qualquer número.

Divisores de 15 = { 1, 3, 5, 15}

Nesse momento você já deve ter entendido o "mecanismo" dessa conta. Se não entendeu, releia antes de passar a diante.

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Vamos ver outro exemplo, mas dessa vez com um número um pouco maior. Usaremos o numeral 45 e dele, tentaremos descobrir os seus divisores.

A primeira coisa a se fazer é decompor este número, traçar uma linha mais a direita e colocar o número 1, destacando-0 em uma posição um pouco mais acima em relação aos demais.


Multiplicamos o primeiro número Primo obtido na decomposição - no caso é o 3 - e multiplicamos por 1. O resultado nós devemos colocar abaixo do número 1. Depois multiplicamos o segundo número Primo obtido na decomposição - no caso é 3 de novo - por 1 e em seguida multiplicamos o segundo número Primo obtido na decomposição pelo resultado anterior, ou seja, pelo número que havíamos colocado abaixo do número 1. Veja que quando o resultado se repetir, nós deveremos ignorá-lo. Veja.



Ao final das multiplicações veremos o seguinte resultado.


Com isso descobrimos os divisores de 45.

Divisores de 45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

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Máximo Divisor Comum:

O maior dos divisores comuns entre dois ou mais números pode ser encontrado através da fatoração. Vejamos um exemplo.

Qual é o maior divisor comum entre 24 e 18?

Para responder a essa pergunda deveremos fatorar o 24 e o 18.


Vamos simplificar isso ainda mais.


O M.D.C. é o resultado obtido através da multiplicação entre os fatores comuns com menores expoentes.

Sendo assim:


Descobrimos que o M.D.C. de 24 e 18 é 6. Mas se quisermos achar o M.D.C. entre os números 20 e 27 que não possuem fatores comuns? Nesse caso o M.D.C. é 1, pois todo número é divisível por 1.

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Vejamos outro exemplo. Vamos descobrir o M.D.C. entre 120 e 36. Se fatorarmos estes números então teremos:

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3


Se pairava alguma dúvida, agora já deve ter se dissipado. Existem outros métodos para se descobrir o M.D.C., mas esse - em minha opnião - é o melhor.

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Mímimo Múltiplo Comum:

O Mínimo Mútiplo comum - excluindo-se o zero - de dois ou mais números, também pode ser encontrado através da fatoração, vejamos.

Vamos supor que quiséssemos achar o M.M.C. dos números 24 e 18.


O M.M.C. é o resultado da multiplicação dos fatores com maiores expoentes. Sejam eles comuns ou não.

Assim...

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32

Ficando assim:

23 x 32 = 72

O M.M.C de (24, 18) é 72

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Vejamos outro exemplo. Qual será o M.M.C. dos números 120 e 36?

Depois de fatorar encontraremos:

120 = 23 x 3 x 5

36 = 22 x 32

Ficando assim:

23 x 32 x 5 = 360


O M.M.C de (120, 36) é 360

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Um método ainda mais rápido para se descobrir o M.M.C.. É o de decomposição simultânea. Usarei como exemplo os mesmos números - 120 e 36 - para que você veja e compare o resultado.


Basta multiplicar para achar o M.M.C..

2 x2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 23 x 32 x 5 = 360

O M.M.C de (120, 36) é 360

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Exercícios

1) O maior fator Primo do número 2310 é:

a) 3
b) 5
c) 10
d) 11


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2) Os divisores de 120 são:

a) 1, 2, 3 , 4 ,8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 60, 120
b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 20, 30, 40, 60, 120
c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
d) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10, 12, 30, 40, 60, 120


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3) O M.M.C. e o M.D.C. dos números 24, 240 e 86 são respectivamente:

a) 5160, 6
b) 732, 2
c) 10320, 2
d) 584, 6


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Respostas

Exercício 1

Para descobrir qual é o maior fator Primo do número 2310 será necessário decompô-lo.


Já descobrimos. O maior fator Primo é o número 11.

Resposta:

Letra 'd'

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Exercício 2

Para descobrir os divisores de 120 você deverá fatorá-lo e multiplicar esses fatores Primos começando pelo 1, já que o numeral 1 é divisor de qualquer número.


Resposta:

Letra 'c'

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Exercício 3

Devemos fatorar os números 24, 240 e 86 separadamente.



24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 24 x 3 x 5

86 = 2 x 43

Sendo assim, para calcularmos o M.M.C. precisaremos multiplicar os fatores com maiores expoentes, sejam eles comuns ou não.

24 x 3 x 5 x 43 = 10320

E para calcularmos o M.D.C. precisaremos multiplicar os fatores comuns com menores expoentes. No caso, somente o número 2 é comum em todas as fatorações.

Resposta:

Letra 'c'

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Nilton (LOMEUTEC)
É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entando gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.

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