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Radiciação - Parte I

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    Você verá nessa publicação algumas revisões sobre raízes. A radiciação é a operação oposta à pontenciação. Geralmente é aprendida na 6º série do ensino fundamental, mas também é muito cobrada em concursos e vestibulares.

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    Concurseiro

    Veja:


    A radiciação acima é o oposto de 42.

    OBS: Apesar de, na imagem acima, mostrar o número 2 no índice, não há necessidade de escrevê-lo para representar a raiz quadrada. Só está sendo mostrado acima para ficar mais fácil de entender o que é o índice em uma radiciação.

    Mais exemplos:

    3√125 = 5, pois 53 = 125

    5√1 = 1, pois 15 = 1

    Radicais semelhantes

    São radicais que possuem índice e radicando iguais.

    Exemplos:

    32  e  -52, pois o índice do radical é 2 no primeiro e no segundo e o radicando é 2 no primeiro e no segundo.

    - 35  e  2 35, pois o índice é 3 no primeiro e no segundo e o radicando é 5 no primeiro e no segundo.

    Redução ao mesmo índice

    Para realizar operações matemáticas com raízes, precisamos que estejam reduzidas ao mesmo índice. Para isso devemos obter o M.M.C. a partir dos valores desses índices.

    Exemplo:

    3√2, 4√6 e 6√3

    O M.M.C. dos índices {3, 4 e 6} é 12, portanto calculemos dividindo o M.M.C. obtido, pelo valor de cada índice e colocando o resultado como expoente de cada radicando. O valor do M.M.C. será usado como índice comum. Veja:

    12√24, 12√63 e 12√32

    Fica:

    12√16, 12√216 e 12√9

    Operações com raiz

    Adição e subtração:

    Só podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes.

    Exemplos:

    25 + 45 = (4)√5 = 6√5

    -23 - √3 = (-2 - 1)√3 = -3√3

    57 - 77 + 27 = (5 - 7 + 2)√7 = √7

    Se não forem semelhantes deveremos usar o processo de redução ao mesmo índice antes de calcular.

    Multiplicação:

    Para multiplicar radicais de índices iguais, aplicamos a propriedade do radical de um produto.

    Exemplos:

    3 x √2 = √3 x 2√6

    2 35 x 3 33 = 2 x 3 35 x 3 = 6 3√15

    Se não forem semelhantes deveremos usar o processo de redução ao mesmo índice antes de calcular.

    Divisão:

    Para Dividir radicais de índices iguais, usamos a propriedade do radical de um quociente.

    Exemplos:

    14 ÷ √2 = √14 ÷ 2√7

    6 364 ÷ 3 38 = 6 ÷ 3 364 ÷ 8 = 3√8

    Se não forem semelhantes deveremos usar o processo de redução ao mesmo índice antes de calcular.

    Raiz de fração:

    Para obter o resultado de uma raiz onde o radicando seja uma fração, devemos resolver o numerador e o denominador separadamente.

    Exemplos:

    31/8 = 1/2
    4/9 = 2/3

    Potenciação:

    Para realizar operações de potenciação em raízes devemos conservar o índice e elevar o radicando à potência indicada.

    Exemplos:

    (5√2)3 = 5√23 = 5√8

    (4√16)2 = 4√162 = 4√256 = 8

    Radiciação:

    Em raiz de raiz conserva-se o radicando multiplica-se os índices.

    Exemplo:


    Simplificação de radicais:

    Faremos a simplificação de radicais através da aplicação de algumas propriedades.

    1ª - Quando o expoente do radicando for menor que o índice, poderemos reduzir o índice e o expoente através do método de M.D.C.

    Exemplo:

    12√46 

    O M.D.C de {12 e 6} é igual a 6, portanto:

    12÷6√46÷6 √4

    2ª - Quando o expoente do radicando for maior ou igual ao índice, poderemos simplificar o expoente pelo mesmo valor do índice e então retiramos a base do radicando.

    Exemplo:

    3√27+24+253√33+24+253√33+23+2+23+22
    3+2+2 3√2+22 7 3√6

    3ª - Outro método é através da decomposição do radicando em fatores primos.

    Exemplo:

    3√54

    Fatorando o radicando obtemos:

    54 | 2
    27 | 3
      9 | 3
      3 | 3            
      1 | 2 x 33

    Aí então fica:

    3√2x33 = 3 3√2

    Racionalização de denominadores:

    Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador.

    Exemplos:

    1º Caso

      3   =      3√5     =   3√5   =  3√5 
     √5       √5 x √5        √52           5


      2   =     2√2     =   2√2   =   2√2   = √2
     √2      √2 x √2        √22            2


    2º Caso

                             3                         3                  3
       3    =       3√22       =     3√4     =  3√4 
     3√2      3√2 x 3√22          3√2 x 22          2


                             4                               4          4
       5    =       5√5      =  5√5  =  5√5  = √5
    4√53       4√54√5     4√54       5

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    O que você deve lembrar sobre radiciação:

    1º - Não existe raiz de número negativo com índice par. Lembre-se de que radiciação é a operação inversa à exponenciação, veja:

    √-4 = b

    O inverso seria:

    b2

    Sabemos que todo número elevado a expoente par tem como resultado um número positivo. Sendo assim √-4 não existe.

    OBS: No caso acima, como estamos tratando de números do conjunto dos números Reais, a afirmação acima é verdadeira. Mas se estivéssemos tratando de números do conjunto dos números Complexos, aí sim  √-4 seria possível. Não se preocupe com isso. Primeiro porque é mais comum lidarmos com o conjunto dos números Reais em avaliações de vestibulares e concursos, e segundo porque o conjunto dos números Complexos serão abordados em publicações adiante. Ainda é muito cedo para isso.

    E se você encontrar o seguinte caso? Veja:

    -√4 = b

    Qual seria o resultado?
    Nesse caso o resultado seria:

    -√4 = -2, pois o sinal de subtração está fora da raiz.

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    2º - Quando o radicando for negativo e o índice for ímpar o resultado será um sempre um valor negativo, veja:

    3√-4 = -64, pois é igual a -43

    Já que:

    (-4) x (-4) x (-4) = (16) x (-4) = -64

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    3º - Quando o radicando for positivo sua raiz será sempre positiva.

    Exemplos:

    √36 = 6
    3√27 = 3

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    4º - Radicando nulo com qualquer índice,  tem como resultado zero.

    Exemplos:

    √0 = 0
    5√0 = 0

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    5º - Radiciação de índice 1 tem como resultado o mesmo valor do radicando.

    Exemplos:

    1√6 = 6
    1√0 = 0
    1√1 = 1
    1√-74 = -74

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    6º - Se o índice for ímpar e igual ao expoente do radicando, então a raíz será igual à base do radicando.

    Exemplos:

    3√23 = 2

    5√(-3)5 = -3

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    7º -  Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita em forma de radical.

    Exemplo:

      ¾
    5  =  4√53

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    8º - Não existe raiz com índice nulo. Como a raiz é a operação inversa da potenciação, o zero seria o denominador, e numeral com denominador nulo não é permitido.

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    Exercícios

    1) Calcule a média geométrica entre {2, 4 e 8} e também entre {4 e 25}.

    a) 64 e 100
    b) 4 e 10
    c) 5,3 e 14,5
    d) 8 e 10

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    2) Numa planta, um terreno de 320 m2 é representado por um desenho de 20 cm2. A escala dessa planta é:

    a) 1:16
    b) 1:400
    c) 1:1,6
    d) 1:40
    e) 1:160

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    3) A raiz quadrada entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números n e 15 é 30. A razão entre o M.D.C. e o M.M.C. é 1/4. Então a soma dos números vale?

    a) 30
    b) 45
    c) 65
    d) 70
    e) 75

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    4) O resultado da operação 10√5 - 7√5 + √5 é:

    a) 18√5
    b) 4√15
    c) 4√5
    d) √5
    e) 3√5

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    Respostas

    Exercício 1

    Para calcular a média geométrica devemos montar uma raiz onde o índice seja equivalente ao número de radicandos dentro da raiz. Os radicandos serão multiplicados dentro da raiz.

    Por exemplo, no primeiro caso, está sendo pedido para se calcular a média geométrica dos números {2, 4 e 8}, portanto o índice dessa raiz será 3, pois são três radicandos.

    3√2x4x8

    No segundo caso, serão dois elementos como radicandos, {4 e 25}, portando será uma raiz de índice 2 (Raiz quadrada).

    √4x25

    Agora é só resolver.

    3√2x4x8 = 3√64 = 4

    √4x25 = √100 = 10

    Sendo assim a resposta é a letra 'b'.

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    Exercício 2

    Para começar percebemos que nesse exercício estamos trabalhando com duas medidas diferentes. Metros quadrados e centímetros quadrados. Sempre que isso ocorrer devemos colocar tudo na mesma medida. Vamos então converter os 320 m2 em cm2. Vai ficar:

    320 m2  para cm2  = 320000 cm2

    E então dividimos:

        20      =    1   
    320000      1600

    Colocando em uma raiz temos:

    1/1600 = 1/400

    Portanto a escala é de 1:400 e por isso a resposta é a letra 'b'.

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    Exercício 3

    Esse é um típico exercício de concurso com bastante "encheção de linguiça" para te enrolar. Vamos traduzir o que foi pedido.

    "A raiz quadrada entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números n e 15 é 30"

    Com base na frase acima nos montamos:
      _____________________
    √MDC(n,15) x MMC(n,15)  = 30

    Sabemos que a radiciação é a operação inversa da potenciação, portanto:
      _____________________
    √MDC(n,15) x MMC(n,15)  = 30  o radicando é igual a 302 que é igual a 900.

    Devemos então dividir 900 por 15 para encontrar o valor de n.

    900 ÷ 15 = 60

    Agora que encontramos o valor de n é só somar:

    n + 15 = 60 + 15 = 75

    Já temos a resposta. A parte do enunciado que diz, "A razão entre o M.D.C. e o M.M.C. é 1/4", está lá só para confundir.

    A resposta é a letra 'e'.

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    Exercício 4

    Este é muito fácil, basta realizar as operações normalmente conservando o radicando.

    10√5 - 7√5√5 = 3√5 + √5 = 4√5

    A resposta é a letra 'c'.

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    Nilton (LOMEUTEC)
    É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.blogspot.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.