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Combinações matemáticas



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Na publicação anterior sobre matemática para concursos foi falado sobre análise combinatória. Ainda dentro desse assunto vou mostrar alguns exemplos de combinações matemáticas.

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Imagine que um conjunto possui 5 elementos. A = {1, 3, 5, 7, 9} Qualquer subconjunto de A, que tenha 3 elementos, é chamado de uma combinação dos 5 elementos de A, tomados 3 a 3.


Assim, por exemplo: {1, 3, 5} é uma das combinações dos 5 elementos de A, tomados 3 a 3. Pode-se dizer o mesmo de {9, 1, 7} e {3, 5, 9}.

Da mesma forma, podemos considerar o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} onde aparecem 7 elementos. Nele, o subconjunto {1, 2}, por exemplo, é uma combinação dos 7 elementos de B, tomados 2 a 2. Também os subconjuntos {3, 7} e {7, 3} são combinações dos 7 elementos de B, tomados 2 a 2.

OBSConjuntos que têm os mesmos elementos são considerados conjuntos iguais. Sendo assim, {3, 7} e {7, 3} são conjuntos iguais e por isso, mais adiante, quando precisarmos contar o números de combinações, não iremos considerar os conjuntos iguais como duas combinações e sim como uma só.

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1º Exemplo

Escreva todas as combinações dos 5 elementos de {1, 3, 4, 6, 8} tomados 2 a 2.

Resolução:

{1, 3}, {1, 4}, {1, 6}, {1, 8}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 8}, {4, 6}, {4, 8} e  {6, 8}

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2º Exemplo

Um conjunto tem 4 elementos. Quantas são as combinações desses quatro elementos, formados 2 a 2?

Resolução:

Vamos imaginar um conjunto com 4 elementos.

{a, b, c, d}

Agora vamos separá-los 2 a 2 sem considerar os conjuntos iguais e encontrar a resposta.

{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} e {c, d}

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A questão do primeiro exemplo poderia ter sido escrita da seguinte forma:

Obtenha o número de combinações: C5, 2.

e a resposta seria:

C5, 2 = 10

Bem como a questão do segundo exemplo poderia ter sido escrita da seguinte forma:

Obtenha o número de combinações: C4, 2.

e a resposta seria:

 C4, 2 = 6
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Fórmula para achar o número de combinações

Imagine que seja pedido que você calcule o número de combinações de C40, 3.

Se você viu a publicação sobre análise combinatória, deve ter visto o  exercício 3, que expunha um problema onde deveriam ser escolhidos 3 representantes entre 40 pessoas para ser formada uma comissão. Durante a explicação da resposta eu disse que uma comissão caracteriza-se pelo conjunto de seus membros e não pela ordem em que são escolhidos. Se aplicarmos a mesma idéia a este problema, significa dizer que não deveremos considerar os conjuntos iguais. A resposta para aquele problema, foi que seria possível montar 9880 comissões diferentes. É o mesmo que dizer:

 C40, 3 = 9880

Cada escolha de uma comissão de 3 membros pode ser entendida como uma combinação das 40 pessoas tomadas 3 a 3.

Agora veja como chegar a esse resultado sem usar o esquema de casinhas e sim pelo uso de uma fórmula que seria:

              40 x 39 x 38
C40, 3 =  ______________
                       3 x 2 x 1

Resolução:

C40, 3 59280 ÷  6 = 9880 

Muito mais simples e rápido para se calcular do que pelo método de casinhas.

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3º Exemplo

Em uma folha de papel estão marcados 10 pontos. No máximo, quantos triângulos podem ser formados de modo que seus vértices sejam 3 dos 10 pontos dados?

Resolução:

Vamos chamar os 10 pontos de A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Qualquer um dos triângulos formados pode ser considerado como uma das combinações dos 10 pontos, tomados 3 a 3. Por exemplo, o ABC pode ser visto como se fosse uma combinação {A, B, C}.

Observe que o triângulo ABC e BCA, são na verdade, o mesmo triângulo, pois são conjuntos iguais.

Portanto, o número de triângulos que podem ser formados é igual ao número de combinações de 10 elementos distintos, tomados 3 a 3.

Calculando:


             10 x 9 x 8
C10, 3 =  ____________ 120
                    3 x 2 x 1


Sendo assim, é possível formar no máximo 120 triângulos diferentes que têm com vértices 3 dos 10 pontos dados.

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Exercícios

1) Em um jogo de loteria há 100 dezenas: 01, 02, 03, ..., 98, 99 e 00. Em cada extração são sorteadas 5 dessas 100 dezenas. Quantos são os possíveis resultados de uma extração dessa loteria?

a) 75.287.520
b) 50.200.001
c) 25.193.240
d) 95.807.582

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2) Em uma reunião estão 12 pessoas, entre as quais João e José. Essas pessoas irão escolher uma comissão com três membros para representá-las. João começou a pensar em todas as possíveis comissões em que ele, João, era um dos membros e nas quais José nunca estava incluído. No máximo, em quantas comissões diferente João poderá pensar?

a) 50
b) 60
c) 45
d) 35
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Respostas

Exercício 1

Para facilitar a conferência, os resultados das loterias costumam ser apresentados em ordem crescente. Isso ocorre porque um sorteio onde aparecem as dezenas 05-21-58-76-99 equivale à 21-58-99-05-76 ou 58-99-21-76-05, por exemplo. Dessa forma, cada resultado da loteria pode ser visto como uma combinação das 100 dezenas, tomadas 5 a 5. 

Sabendo disso montemos a fórmula:

             100 x 99 x 98 x 97 x 96 
C100, 5 =  _______________________ 75.287.520
                         5 x 4 x 3 x 2 x 1


A resposta é a letra 'a'.

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Exercício 2

Para começar, vamos retirar o José da nossa linha de pensamento, já que ele nunca estará incluído nas comissões em que João participar. Restaram 11 pessoas que poderão concorrer as 3 vagas da comissão. Como João, sempre será um dos membros, o que nós temos que fazer é descobrir quem serão os outros dois que ocuparão as duas vagas restantes. Como sabemos que José não é uma possibilidade e que João deve ser um dos membros, então na verdade nos restam 10 pessoas que disputarão as outras duas vagas restantes.

Vamos criar dois personagens fictícios, Vanessa e Paulo.

Veja que, uma comissão formada por João, Vanessa e Paulo, é a mesma comissão se for formada por Vanessa, João e Paulo, ou Paulo, Vanessa e João, por exemplo.

Tendo organizado as idéias e percebido isso tudo, podemos concluir que o número de comissões possíveis é:

                10 x 9
C10, 2 =  __________ 45
                       2 x 1

A resposta é a letra 'c'.

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Nilton (LOMEUTEC)
É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entando gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.

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