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Operações com polinômios



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Nessa publicação será brevemente apresentado como realizar operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, dando mais ênfase a operações de divisão.

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Concurseiro

Adição e subtração de polinômios

Adição:

Para mostrar de forma prática, tomemos como exemplo os polinômios:

-4x2 + 6x - 1 e -2x3 + 3x - 1

Para realizar uma operação de soma faremos da seguinte forma:

(-4x2 + 6x - 1) + (-2x3 + 3x - 1)

Fique atento à regra de sinais.

-4x2 + 6x - 1 - 2x3 + 3x - 1

Vamos ordenar os termos semelhantes em ordem decrescente de acordo com as potências.

-2x3 - 4x2 + 6x + 3x - 1 - 1

O resultado será:

-2x3 - 4x2 + 9x -2

_______________________________________

Subtração:

Mais uma vez mostrarei na forma de um exemplo prático como realizar subtração com polinômios. Para isso vamos usar os mesmos polinômios do exempo acima:

-4x2 + 6x - 1 e -2x3 + 3x - 1

Para realizar uma operação de subtração faremos da seguinte forma:

(-4x2 + 6x - 1) - (-2x3 + 3x - 1)

Lembre-se de que o sinal de fora do parênteses altera os sinais dos valores dentro do parênteses. É a aplicação da regra de sinais.

-4x2 + 6x - 1 + 2x3 - 3x + 1

Vamos ordenar os termos semelhantes em ordem decrescente de acordo com as potências.

+2x3 - 4x2 + 6x - 3x - 1 + 1

O resultado será:

+2x3 - 4x2 + 3x   

_______________________________________

Multiplicação de polinômios

Polinômio x polinômio:

Devemos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos tomar como exemplo prático, a multiplicação dos mesmo polinômios:

-4x2 + 6x - 1 e -2x3 + 3x - 1

Para realizar uma operação de multiplicação faremos da seguinte forma:

(-4x2 + 6x - 1) x (-2x3 + 3x - 1)

Aplique a propriedade distributiva:

OBS: O asterisco representa o sinal de multiplicação.

 -4x2 * (-2x3 + 3x -1) + 6x * (-2x3 + 3x -1) - 1 * (-2x3 + 3x -1)

Lembre-se, na multiplicação de potências de bases iguais nós mantemos as bases e somamos os expoentes. Tome cuidado com a regra de sinais também.

8x5 - 12x3 + 4x2 - 12x4 + 18x2 - 6x + 2x3 - 3x + 1

Vamos ordenar os termos semelhantes em ordem decrescente de acordo com as potências.

8x5 - 12x4 - 12x3 + 2x3 + 4x2 + 18x2 - 6x - 3x + 1

Ao reduzirmos os termos semelhantes e teremos a resposta:

8x5 - 12x4 - 10x3 + 22x2 - 9x + 1

Polinômio x monômio:

Também devemos usar a propriedade distributiva da multiplicação. Veja o exemplo prático:

-2x e -2x3 + 3x - 1

Aplicamos a propriedade distributiva:

OBS: O asterisco representa o sinal de multiplicação.

-2x * (-2x3) + (-2x * 3x) - [ -2x * (- 1)]

Lembre-se, na multiplicação de potências de bases iguais nós mantemos a base e somamos os expoentes. Tome cuidado com a regra de sinais também. Veja a resposta:

4x4 - 6x2 - 2x

_______________________________________

Divisão de polinômios

Vamos pegar como exemplo prático os seguintes polinômios:

2x3 + 5x2 - 3x + 10 e x - 2

Montamos a operação:

2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  

Aqui nós deveremos olhar para o primeiro termo de cada polinômio, que no caso são 2x3 e x  e realizar a divisão:    

2x÷ x = 2x2

Este será o primeiro termo da resposta da nossa divisão:

2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
                                               2x

Multiplica-se o 2xpelo divisor x - 2 :

OBSO asterisco representa o sinal de multiplicação.

2x* (x - 2) = 2x3 - 4x2

Invertemos os sinais:

-2x3 + 4x2

Enviamos para o outro lado e realizamos a operação:

 2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
-2x3 + 4x2                        2x
____________
    0 + 9x2

Agora teremos que fazer o mesmo processo novamente, mas antes abaixe o próximo termo do dividendo.

 2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
-2x3 + 4x2                        2x
____________
   0 + 9x- 3x

Devemos agora dividir o 9x2 pelo primeiro termo do divisor:

9x÷ x = 9x

Este será o segundo termo do nosso resultado:

 2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
-2x3 + 4x2                        2x+ 9x
____________
  0 + 9x- 3x

Multiplicamos  o 9x pelo divisor x - 2.

OBSO asterisco representa o sinal de multiplicação.

9x * (x - 2) 9x- 18x

Com esse resultado você deverá inverter os sinais e realizar a operação dentro da chave.

 2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
-2x3 + 4x2                        2x+ 9x
____________
     0 + 9x- 3x
         -9x2 + 18x
                                       
             0 + 15x

De novo teremos que repetir o processo. Abaixe o próximo termo do dividendo.

 2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
-2x3 + 4x2                        2x+ 9x
_____________
    0 + 9x- 3x
         -9x+ 18x
                                      
             0 + 15x + 10

Dividiremos o 15x pelo primeiro termo do divisor x - 2.

15x ÷ x = 15

Este será o terceiro termo do nosso resultado.

 2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
-2x3 + 4x2                        2x+ 9x + 15
______________
   0 + 9x- 3x
          -9x+ 18x
                                     
            0 + 15x + 10

Multiplicamos o 15 pelo divisor x - 2.

OBSO asterisco representa o sinal de multiplicação.

15x * (x - 2) 15x - 30

Invertemos os sinais e realizamos a operação dentro da chave.

 2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
-2x3 + 4x2                        2x+ 9x + 15
______________
   0 + 9x- 3x
          -9x+ 18x
                                     
            0 + 15x + 10
                 -15x + 30
                                              
                      0 + 40

Concluímos a operação e sendo assim o resultado final será:

2x3 + 5x2 - 3x + 10 ÷ x - 2 2x+ 9x +15

Resto = 40

_______________________________________

Atenção:

Veja o seguinte caso abaixo:

4x4 - 6x2 - 2x + 1 ÷ x2 - 1

Para efetuar essa divisão o primeiro passo será completar os polinômios. Veja:

4x4 + 0x3 - 6x2 - 2x +1 ÷ x2 + 0x - 1

Tendo feito isso você poderá executar a divisão usando o mesmo processo que foi explicado no exemplo acima.

_______________________________________

Agora que você já viu como é que se faz uma divisão de polinômios, vou mostrar um outro método que é mais rápido, melhor para ser usado em avaliações onde o tempo é limitado.

Dispositivo prático de Briot-Ruffini

Veja o exemplo:

P(x) = 2x3 + 5x2 - 3x + 10
Q(x) = x - 2

Primeiro nós analisaremos se P(x) é um polinômio completo, ou seja, se está em ordem decrescente de expoentes.
P(x) = 2x3 + 5x2 - 3x1 + 10

No caso está tudo certo, mas se faltasse algum nós deveríamos completá-lo. Exemplo:

Se P(x) fosse:

2x3 - 3x1 + 10

Nós completaríamos assim:

2x3 + 0x23x1 + 10

Mas voltando ao nosso caso, vamos em seguida verificar se o divisor é do tipo x ± a e sendo assim calculamos a raiz.

x - 2 = 0

x = 2

Agora já temos tudo que precisamos para começar, monte o dispositivo como é mostrado abaixo.

____|________________
       |

Preencha da seguinte forma colocando a raiz do divisor no dispositivo.

____|________________
  2  |

Preencha também colocando os coeficientes do dividendo.

        |   2        5     -3     10     
   2  |

Com o dispositivo montado baixe o primeiro coeficiente.

        |   2        5     -3     10     
   2  |   2 

Você vai multiplicar a raiz do divisor pelo coeficiente que foi baixado. O produto deverá ser somado com o próximo coeficiente e o resultado será colocado abaixo dele.

                       4
                       +
        |   2        5     -3     10     
   2  |   2      9         

Agora você vai multiplicar a raiz do divisor, que no caso é o número 2, pelo resultado da soma, que no caso é o número 9, e o produto deverá ser somado ao terceiro termo do coeficiente. O resultado da soma deverá ser colocado abaixo do terceiro coeficiente.

                       4       18
                       +       +
        |   2        5     -3     10     
   2  |   2      9     15  

Mais uma vez você irá multiplicar a raiz do divisor, que no caso é o número 2, pelo resultado da última soma, que no caso é o número 15. O produto deverá ser somado ao quarto termo do coeficiente. O resultado da soma deverá ser colocado abaixo dele.

                       4       18       30
                       +        +        +
        |   2        5     -3     10     
   2  |   2      9     15     40

Este último resultado que encontramos é o resto e os demais são o quociente da divisão. Portanto:

2x3 + 5x2 - 3x + 10 ÷ x - 2 2x+ 9x +15

Resto = 40

_______________________________________

Exercícios

1) Calculando o valor de 'k' para que o polinômio F(x) = 2x3 - 5x2 + 7x + k, seja divisível por (x-1), obtemos:

a) 2
b) -2
c) 4
d) -4

_______________________________________


2) Sabendo-se que P(1) = 0, as outras raízes do polinômio abaixo são:

P(x) = x3 - x2 - 9x + 9

a) -1 e -3
b) 3 e -3
c) 2 e -2
d) 3 e 2

_______________________________________


3)  Sabendo-se que 2 é uma das raízes dessa equação polinomial, as outras duas serão:

x3 + 2x2 - 5x - 6 = 0

a) 1 e 3
b) 1 e -2
c) -2 e -3
d) -1 e -3

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Respostas

Exercício 1

Dizer que F(x) = 2x3 - 5x2 + 7x + k, é um polinômio divisível por (x-1) significa que seu resto é zero.


Sabemos que a raiz é 1, pois:

(x - 1)

x - 1 = 0
x = 1

Sendo assim substituímos os valores de x.

2*13 - 5*12 + 7*1 + k = 0

Agora é só resolver.

2*13 - 5*12 + 7*1 + k = 0

2 - 5 + 7 + k = 0

-3 + 7 + k = 0

4 + k = 0

K = -4


A resposta é a letra 'd'


_______________________________________

Exercício 2

Esse é um polinômio do terceiro grau. O grau de um polinômio é definido pelo seu maior expoente. Vai ficar mais fácil se trabalharmos com uma equação do segundo grau.

Dizer que P(1) = 0 é o mesmo que dizer que P(x) = x3 - x2 - 9x + 9 é divisível por 1.

Sendo assim, sabendo que a raiz é 1, vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para reduzir esse polinômio para um polinômio de segundo grau.

                       1        0       -9
                       +        +        +
        |   1        -1     -9     9     
   1  |   1       0     -9     0

O polinômio reduzido ficou assim:

x2 + 0x - 9 = 0

Agora é só aplicar a fórmula de bhaskara para encontrar as demais raízes.


Onde:

a = 12
b = 0
c = -9

Tendo resolvido você encontrará:

xI = 3

xII = -3

Portanto a resposta é a letra 'b'.

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Exercício 3

O processo de resolução para encontrar as raízes desse polinômio é o mesmo usado no segundo exercício.

O Primeiro passo é transformá-lo em um polinômio de segundo grau. Como já sabemos que uma de suas raízes é 2, sendo assim basta aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini.

                       2        8        6
                       +        +        +
        |   1         2     -5    -6     
   2  |   1       4      3      0

Obtemos:

x2 + 4x + 3 = 0

Basta aplicar a fórmula de bhaskara para saber que as outras duas raízes são:


xI = -1

xII = -3

Portanto a resposta é a letra 'd'.

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Para o anterior - Para o próximo

Nilton (LOMEUTEC)
É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.

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