Lomeutec - Tutoriais e Informação

Operações com polinômios

  • Publicidade: Powered by Google

    Nessa publicação será brevemente apresentado como realizar operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, dando mais ênfase a operações de divisão.

    Ir para o índice

    Concurseiro

    Adição e subtração de polinômios

    Adição:

    Para mostrar de forma prática, tomemos como exemplo os polinômios:

    -4x2 + 6x - 1 e -2x3 + 3x - 1

    Para realizar uma operação de soma faremos da seguinte forma:

    (-4x2 + 6x - 1) + (-2x3 + 3x - 1)

    Fique atento à regra de sinais.

    -4x2 + 6x - 1 - 2x3 + 3x - 1

    Vamos ordenar os termos semelhantes em ordem decrescente de acordo com as potências.

    -2x3 - 4x2 + 6x + 3x - 1 - 1

    O resultado será:

    -2x3 - 4x2 + 9x -2

    _______________________________________

    Subtração:

    Mais uma vez mostrarei na forma de um exemplo prático como realizar subtração com polinômios. Para isso vamos usar os mesmos polinômios do exempo acima:

    -4x2 + 6x - 1 e -2x3 + 3x - 1

    Para realizar uma operação de subtração faremos da seguinte forma:

    (-4x2 + 6x - 1) - (-2x3 + 3x - 1)

    Lembre-se de que o sinal de fora do parênteses altera os sinais dos valores dentro do parênteses. É a aplicação da regra de sinais.

    -4x2 + 6x - 1 + 2x3 - 3x + 1

    Vamos ordenar os termos semelhantes em ordem decrescente de acordo com as potências.

    +2x3 - 4x2 + 6x - 3x - 1 + 1

    O resultado será:

    +2x3 - 4x2 + 3x   

    _______________________________________

    Multiplicação de polinômios

    Polinômio x polinômio:

    Devemos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos tomar como exemplo prático, a multiplicação dos mesmo polinômios:

    -4x2 + 6x - 1 e -2x3 + 3x - 1

    Para realizar uma operação de multiplicação faremos da seguinte forma:

    (-4x2 + 6x - 1) x (-2x3 + 3x - 1)

    Aplique a propriedade distributiva:

    OBS: O asterisco representa o sinal de multiplicação.

     -4x2 * (-2x3 + 3x -1) + 6x * (-2x3 + 3x -1) - 1 * (-2x3 + 3x -1)

    Lembre-se, na multiplicação de potências de bases iguais nós mantemos as bases e somamos os expoentes. Tome cuidado com a regra de sinais também.

    8x5 - 12x3 + 4x2 - 12x4 + 18x2 - 6x + 2x3 - 3x + 1

    Vamos ordenar os termos semelhantes em ordem decrescente de acordo com as potências.

    8x5 - 12x4 - 12x3 + 2x3 + 4x2 + 18x2 - 6x - 3x + 1

    Ao reduzirmos os termos semelhantes e teremos a resposta:

    8x5 - 12x4 - 10x3 + 22x2 - 9x + 1

    Polinômio x monômio:

    Também devemos usar a propriedade distributiva da multiplicação. Veja o exemplo prático:

    -2x e -2x3 + 3x - 1

    Aplicamos a propriedade distributiva:

    OBS: O asterisco representa o sinal de multiplicação.

    -2x * (-2x3) + (-2x * 3x) - [ -2x * (- 1)]

    Lembre-se, na multiplicação de potências de bases iguais nós mantemos a base e somamos os expoentes. Tome cuidado com a regra de sinais também. Veja a resposta:

    4x4 - 6x2 - 2x

    _______________________________________

    Divisão de polinômios

    Vamos pegar como exemplo prático os seguintes polinômios:

    2x3 + 5x2 - 3x + 10 e x - 2

    Montamos a operação:

    2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  

    Aqui nós deveremos olhar para o primeiro termo de cada polinômio, que no caso são 2x3 e x  e realizar a divisão:    

    2x÷ x = 2x2

    Este será o primeiro termo da resposta da nossa divisão:

    2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
                                                   2x

    Multiplica-se o 2xpelo divisor x - 2 :

    OBSO asterisco representa o sinal de multiplicação.

    2x* (x - 2) = 2x3 - 4x2

    Invertemos os sinais:

    -2x3 + 4x2

    Enviamos para o outro lado e realizamos a operação:

     2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
    -2x3 + 4x2                        2x
    ____________
        0 + 9x2

    Agora teremos que fazer o mesmo processo novamente, mas antes abaixe o próximo termo do dividendo.

     2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
    -2x3 + 4x2                        2x
    ____________
       0 + 9x- 3x

    Devemos agora dividir o 9x2 pelo primeiro termo do divisor:

    9x÷ x = 9x

    Este será o segundo termo do nosso resultado:

     2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
    -2x3 + 4x2                        2x+ 9x
    ____________
      0 + 9x- 3x

    Multiplicamos  o 9x pelo divisor x - 2.

    OBSO asterisco representa o sinal de multiplicação.

    9x * (x - 2) 9x- 18x

    Com esse resultado você deverá inverter os sinais e realizar a operação dentro da chave.

     2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
    -2x3 + 4x2                        2x+ 9x
    ____________
         0 + 9x- 3x
             -9x2 + 18x
                                           
                 0 + 15x

    De novo teremos que repetir o processo. Abaixe o próximo termo do dividendo.

     2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
    -2x3 + 4x2                        2x+ 9x
    _____________
        0 + 9x- 3x
             -9x+ 18x
                                          
                 0 + 15x + 10

    Dividiremos o 15x pelo primeiro termo do divisor x - 2.

    15x ÷ x = 15

    Este será o terceiro termo do nosso resultado.

     2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
    -2x3 + 4x2                        2x+ 9x + 15
    ______________
       0 + 9x- 3x
              -9x+ 18x
                                         
                0 + 15x + 10

    Multiplicamos o 15 pelo divisor x - 2.

    OBSO asterisco representa o sinal de multiplicação.

    15x * (x - 2) 15x - 30

    Invertemos os sinais e realizamos a operação dentro da chave.

     2x3 + 5x2 - 3x + 10  |  x - 2  
    -2x3 + 4x2                        2x+ 9x + 15
    ______________
       0 + 9x- 3x
              -9x+ 18x
                                         
                0 + 15x + 10
                     -15x + 30
                                                  
                          0 + 40

    Concluímos a operação e sendo assim o resultado final será:

    2x3 + 5x2 - 3x + 10 ÷ x - 2 2x+ 9x +15

    Resto = 40

    _______________________________________

    Atenção:

    Veja o seguinte caso abaixo:

    4x4 - 6x2 - 2x + 1 ÷ x2 - 1

    Para efetuar essa divisão o primeiro passo será completar os polinômios. Veja:

    4x4 + 0x3 - 6x2 - 2x +1 ÷ x2 + 0x - 1

    Tendo feito isso você poderá executar a divisão usando o mesmo processo que foi explicado no exemplo acima.

    _______________________________________

    Agora que você já viu como é que se faz uma divisão de polinômios, vou mostrar um outro método que é mais rápido, melhor para ser usado em avaliações onde o tempo é limitado.

    Dispositivo prático de Briot-Ruffini

    Veja o exemplo:

    P(x) = 2x3 + 5x2 - 3x + 10
    Q(x) = x - 2

    Primeiro nós analisaremos se P(x) é um polinômio completo, ou seja, se está em ordem decrescente de expoentes.
    P(x) = 2x3 + 5x2 - 3x1 + 10

    No caso está tudo certo, mas se faltasse algum nós deveríamos completá-lo. Exemplo:

    Se P(x) fosse:

    2x3 - 3x1 + 10

    Nós completaríamos assim:

    2x3 + 0x23x1 + 10

    Mas voltando ao nosso caso, vamos em seguida verificar se o divisor é do tipo x ± a e sendo assim calculamos a raiz.

    x - 2 = 0

    x = 2

    Agora já temos tudo que precisamos para começar, monte o dispositivo como é mostrado abaixo.

    ____|________________
           |

    Preencha da seguinte forma colocando a raiz do divisor no dispositivo.

    ____|________________
      2  |

    Preencha também colocando os coeficientes do dividendo.

            |   2        5     -3     10     
       2  |

    Com o dispositivo montado baixe o primeiro coeficiente.

            |   2        5     -3     10     
       2  |   2 

    Você vai multiplicar a raiz do divisor pelo coeficiente que foi baixado. O produto deverá ser somado com o próximo coeficiente e o resultado será colocado abaixo dele.

                           4
                           +
            |   2        5     -3     10     
       2  |   2      9         

    Agora você vai multiplicar a raiz do divisor, que no caso é o número 2, pelo resultado da soma, que no caso é o número 9, e o produto deverá ser somado ao terceiro termo do coeficiente. O resultado da soma deverá ser colocado abaixo do terceiro coeficiente.

                           4       18
                           +       +
            |   2        5     -3     10     
       2  |   2      9     15  

    Mais uma vez você irá multiplicar a raiz do divisor, que no caso é o número 2, pelo resultado da última soma, que no caso é o número 15. O produto deverá ser somado ao quarto termo do coeficiente. O resultado da soma deverá ser colocado abaixo dele.

                           4       18       30
                           +        +        +
            |   2        5     -3     10     
       2  |   2      9     15     40

    Este último resultado que encontramos é o resto e os demais são o quociente da divisão. Portanto:

    2x3 + 5x2 - 3x + 10 ÷ x - 2 2x+ 9x +15

    Resto = 40

    _______________________________________

    Exercícios

    1) Calculando o valor de 'k' para que o polinômio F(x) = 2x3 - 5x2 + 7x + k, seja divisível por (x-1), obtemos:

    a) 2
    b) -2
    c) 4
    d) -4

    _______________________________________


    2) Sabendo-se que P(1) = 0, as outras raízes do polinômio abaixo são:

    P(x) = x3 - x2 - 9x + 9

    a) -1 e -3
    b) 3 e -3
    c) 2 e -2
    d) 3 e 2

    _______________________________________


    3)  Sabendo-se que 2 é uma das raízes dessa equação polinomial, as outras duas serão:

    x3 + 2x2 - 5x - 6 = 0

    a) 1 e 3
    b) 1 e -2
    c) -2 e -3
    d) -1 e -3

    ________________________________________

    ________________________________________

    Respostas

    Exercício 1

    Dizer que F(x) = 2x3 - 5x2 + 7x + k, é um polinômio divisível por (x-1) significa que seu resto é zero.


    Sabemos que a raiz é 1, pois:

    (x - 1)

    x - 1 = 0
    x = 1

    Sendo assim substituímos os valores de x.

    2*13 - 5*12 + 7*1 + k = 0

    Agora é só resolver.

    2*13 - 5*12 + 7*1 + k = 0

    2 - 5 + 7 + k = 0

    -3 + 7 + k = 0

    4 + k = 0

    K = -4


    A resposta é a letra 'd'


    _______________________________________

    Exercício 2

    Esse é um polinômio do terceiro grau. O grau de um polinômio é definido pelo seu maior expoente. Vai ficar mais fácil se trabalharmos com uma equação do segundo grau.

    Dizer que P(1) = 0 é o mesmo que dizer que P(x) = x3 - x2 - 9x + 9 é divisível por 1.

    Sendo assim, sabendo que a raiz é 1, vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para reduzir esse polinômio para um polinômio de segundo grau.

                           1        0       -9
                           +        +        +
            |   1        -1     -9     9     
       1  |   1       0     -9     0

    O polinômio reduzido ficou assim:

    x2 + 0x - 9 = 0

    Agora é só aplicar a fórmula de bhaskara para encontrar as demais raízes.


    Onde:

    a = 12
    b = 0
    c = -9

    Tendo resolvido você encontrará:

    xI = 3

    xII = -3

    Portanto a resposta é a letra 'b'.

    _______________________________________

    Exercício 3

    O processo de resolução para encontrar as raízes desse polinômio é o mesmo usado no segundo exercício.

    O Primeiro passo é transformá-lo em um polinômio de segundo grau. Como já sabemos que uma de suas raízes é 2, sendo assim basta aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini.

                           2        8        6
                           +        +        +
            |   1         2     -5    -6     
       2  |   1       4      3      0

    Obtemos:

    x2 + 4x + 3 = 0

    Basta aplicar a fórmula de bhaskara para saber que as outras duas raízes são:


    xI = -1

    xII = -3

    Portanto a resposta é a letra 'd'.

    _______________________________________

    Para o anterior - Para o próximo

    Nilton (LOMEUTEC)
    É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.
    COMENTÁRIOS NÃO SÃO MAIS RESPONDIDOS DESDE AGOSTO DE 2013.
    Se seu comentário não foi aprovado veja porque em POLÍTICAS DE COMENTÁRIOS.