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Produtos notáveis

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    Seguindo com as matérias que costumam aparecer nos concursos e vestibulares, será mostrado nessa publicação os principais casos que ocorrem nos produtos notáveis, tais como: Quadrado de uma soma, quadrado de uma diferença, diferença de dois quadrados, fatoração, cubo de uma soma e cubo de uma diferença.

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    Concurseiro

    Quadrado de uma soma

    O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do terceiro termo.

    (a + b)2 = a2 + 2*a*b + b2

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    Quadrado de uma diferença

    O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do terceiro termo.

    (a - b)2 a2 2*a*b + b2

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    Diferença de dois quadrados

    A diferença de dois quadrados é igual ao produto da soma pela diferença da raiz quadrada de cada um dos termos.

    x2 - 16 = (x + 4* (x - 4)

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    Fatoração

    Resolve-se colocando os termos comuns em evidência.

    5x2 - 15 = 5x*(+ 3)

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    Cubo de uma soma

    Resolve-se pelo cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

    (a + b)3 = a3 + 3*a2*b + 3*a*b2 + b3

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    Cubo de uma diferença

    Resolve-se pelo cubo do primeiro termo, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

    (a - b)3 = a3 - 3*a2*b + 3*a*b2 - b3

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    Exercícios

    1) Se x² - y² = 135 e x - y = 9, então qual é o valor para x e y?

    a) 3 e 12
    b) 6 e 15
    c) 3 e 15
    d) 6 e 12

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    2) Sabe-se que x + y = 10 e x * y = 6, então qual é o valor de x² + y²?

    a) 60
    b) 120
    c) 88
    d) 80

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    3) Se x + y = 8 e x * y = 15, qual e o valor de x² + 6xy + y²?

    a) 64
    b) 109
    c) 124
    d) 204
    e) 154

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    Respostas

    Exercício 1

    Queremos saber os valores de x e y isoladamente.

    Sabemos que:

    x² - y² = 135
    x - y = 9

    Sendo assim vamos resolver pelo método de substituição começando pelo valor de x.

    Se x - y = 9 então x = 9 + y

    Façamos:

    x² - y² = 135


    (9 + y)2 - y2 = 135

    Aplicamos a regra do quadrado de uma soma:

    92 + 2*9*y + y2 - y= 135


    81 + 18y = 135
    18y = 135 - 81
    18y = 54
    y = 54 ÷ 18
    y = 3

    Já temos o valor de y, agora vamos substituí-lo.

    x² - y² = 135

    x² - 3² = 135
    x² - 9 = 135
    x² = 135 - 9
    x² = 144
    x = √144
    x = 12

    Portanto a resposta é a letra 'a'.

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    Exercício 2

    Queremos saber o resultado da soma entre x² + y².

    Já sabemos que:

    x + y = 10 
    x * y = 6

    Para descobrir vamos pegar o x + y = 10  e elevar ao quadrado para depois resolver.

    (x + y )= 102

    Resolvemos aplicando a regra do quadrado de uma soma:

    x2 + 2*x*y + y2 = 100

    Lembre-se que x * y = 6, então:

    x2 + 2*6 + y2 = 100
    x2 + 12 + y2 = 100
    x2 + y2 = 100 - 12
    x2 + y2 = 88

    A resposta é a letra 'c'.

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    Exercício 3
    Queremos saber o valor de x² + 6xy + y².

    Sabemos que:

    x + y = 8 
    x * y = 15

    Só de olhar já sabemos parte do valor desse produto notável pois:

    Se x * y = 15 então 6xy é igual a 90

    Sobrou só  x² + y² para calcularmos. Sendo assim elevamos o x + y = 8 ao quadrado:

    (x + y)2 = 82

    Resolvemos aplicando a regra do quadrado de uma soma:

    x² + y² + 2xy = 64

    Lembre-se que x * y = 15, então:

    x² + y² + 30 = 64 x² + y² = 64 - 30 x² + y² = 34

    Agora já temos tudo que precisamos para saber o resultado de x² + 6xy + y.

    x² + y² + 6xy = 34 + 90 = 124

    A resposta é a letra 'c'.

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    Nilton (LOMEUTEC)
    É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.blogspot.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.