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Sistemas de equações

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    Sistemas de equações são aplicados quando precisamos resolver problemas matemáticos que possuem duas incógnitas. Veja nessa publicação como resolvê-los pelo método de substituição.

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    Concurseiro

    Vamos começar com um exemplo prático de problema.

    Alguns jovens estavam numa festa. Algumas horas mais tarde 15 moças precisaram ir embora e aí os rapazes perceberam que para cada uma que ficou havia 2 rapazes. Mais tarde 45 rapazes foram embora também, ficando 5 moças para cada um dos rapazes restantes. Quantas moças e quantos rapazes havia na festa quando ela começou?

    Resolução

    Esse problema apresenta duas incógnitas:

    Rapazes e moças.

    Vamos dividir o problema analisando cada situação:

    Na primeira situação vamos usar x para indicar o número de rapazes e y para indicar o número de moças.


     Situação 1   Situação 2   Situação 3 
     Rapazes   x

     Moças


    Depois temos que analisar qual foi a foi a primeira mudança que ocorreu. No caso foi a saída das 15 moças. Como o número de rapazes não se alterou então a segunda situação fica da seguinte forma:


     Situação 1   Situação 2   Situação 3 
     Rapazes   x  x
     Moças  y - 15

    A mudança seguinte ocorreu quando alguns rapazes resolveram ir embora. Nessa ocasião, o número de moças continuou o mesmo.


     Situação 1   Situação 2   Situação 3 
     Rapazes   x  x x - 45 
     Moças  y - 15 y -15 

    Foi dito também que quando algumas moças foram embora - situação 2 - o número de rapazes para cada moça era de 2 para 1. Isso é o mesmo que dizer que na situação 2 o número de rapazes era o dobro do número de moças

    x = 2 * (y - 15)

    E que quando alguns rapazes também decidiram sair - situação 3 - o número de moças para cada rapaz que ficou na festa era de 5 para 1.  É o mesmo que dizer que na situação 3 o número de moças era 5 vezes maior do que o número de rapazes. Sendo assim temos:

    y - 15 = 5 * (x - 45)

    Dessa forma montamos um sistema de duas equações e duas incógnitas.


    Existem várias maneiras de se resolver esse problema, mas aqui será apresentado como resolver pelo método da substituição.

    Vamos começar substituindo o valor de x na segunda equação. E sendo assim, já que:

    x = 2 * (y - 15)

    É o mesmo que:

    x = 2y - 30

    Então a segunda equação:

    y - 15 = 5 * (x - 45)

    Fica:

    y - 15 = 5 * (2y - 30 - 45)

    Ficou muito mais fácil resolver com uma incógnita só.

    y - 15 = 5 * (2y - 30 - 45)
    y - 15 = 10y - 150 - 225
    y - 15 = 10y - 375
    y - 10y = -375 + 15
    -9y = -360

    Como não podemos deixar o valor de y negativo fazemos a multiplicação por menos um.

    -9y = -360 (* -1)
     9y = 360
    y = 360 ÷ 9
    y = 40

    Já sabemos quantas moças tinham no início de tudo, para ver quantos rapazes havia devemos substituir o valor de y na outra equação.

    x = 2 * (y - 15)

    x = 2y - 30
    x= 2 * 40 - 30
    x = 80 - 30
    x = 50 

    Pronto, chegamos ao resultado. No início da festa havia 50 rapazes.

    Vamos checar para ver se bate?

    No início da festa havia 50 rapazes e 40 moças, com  a saída de 15 moças ficaram 50 rapazes e 25 moças. Exatamente 2 rapazes para cada moça. Com a saída de 45 rapazes, ficaram 5 rapazes e 25 moças. Exatamente 5 moças para cada rapaz. Portanto a resposta é:

    No início da festa havia 50 rapazes e 40 moças.

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    Exercícios

    1) Numa festa de casamento havia, entre homens e mulheres, um total de 80 pessoas. Quando saíram 15 mulheres e 5 homens, restou um número igual de homens e mulheres. Quantos homens e quantas mulheres estavam no início da festa?

    a) 35 homens e 40 mulheres
    b) 40 homens e 30 mulheres
    c) 35 homens e 45 mulheres
    d) 40 homens e o 40 mulheres
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    2) No estacionamento de um condomínio havia 57 veículos entre carros e motos, somando um total de 184 rodas sem contar o estepe. Sabendo disso, quantos veículos estavam no estacionamento?

    a) 30 carros e 22 motos
    b) 32 carros e 25 motos
    c) 35 carros e 20 motos
    d) 35 carros e 22 motos

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    Respostas

    Exercício 1

    Montar a primeira equação é fácil. Basta pegar a parte do enunciado que diz, "Numa festa de casamento havia, entre homens e mulheres, um total de 80 pessoas." e transformá-la em linguagem matemática.

    x + y = 80

    Essa é a primeira equação do nosso sistema, onde x vai representar o número de homens e y o número de mulheres.

    Já vamos isolar o valor de x:

    x + y = 80

    x = 80 - y

    Sabemos que do total de mulheres, 15 foram embora. Portanto:

    y - 15

    E que do total de homens, 5 foram embora. Então:

    x - 5

    Ficou dito que ao saírem as 15 mulheres e os 5 homens do total de 80 pessoas que havia, restaram a mesma quantidade de homens e mulheres na festa. Sendo assim, nós montamos a seguinte equação:

    80 - (x - 5) = 80 - ( y - 15)

    Vamos resolvê-la, para isso substitua o valor de x sabendo que x = 80 - y.

    80 - x + 5 = 80 - y + 15
    -x + y = 80 - 80 + 15 - 5
    -x + y = 10

    Achamos a segunda equação do nosso sistema.


    Agora podemos finalmente resolvê-la, basta substituir os valores. Vou começar achando o número de mulheres que havia no início da festa.

    Já sei que x = 80 - y então:

    -x + y = 10

    -( 80 - y) + y = 10

    -80 + y + y = 10
    2y = 10 + 80
    2y = 90
    y = 90 ÷ 2
    y = 45

    Agora com o valor de y já posso achar o valor de x.

    x + y = 80
    x = 80 - y
    x = 80 - 45
    x = 35

    Pronto. Havia 35 homens e 45 mulheres no início da festa de casamento.

    A resposta é a letra 'c'.

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    Exercício 2

    As duas incógnitas desse exercício são os carros e as motos. Vamos representar os carros pela letra x e as motos pela letra y.

    Sabendo que o total de carro mais o total de motos é igual à 57 montamos a seguinte equação:

    x + y = 57

    Essa é a primeira equação do nosso sistema.

    O enunciado diz que se somadas todas as rodas sem contar o estepe nós encontraremos 187 rodas. Fora isso não fornece mais nenhuma outra informação, mas nós sabemos que carros possuem 4 rodas e motos possuem 2 rodas sendo assim a nossa segunda equação será:

    4x + 2y = 184

    Montando o sistema teremos:


    Agora é só substituir e para isso a gente procura fazer pelo que nos parece mais fácil. Nesse caso eu vou substituir o valor de x na equação debaixo.

    Sabendo que x + y = 57 é o mesmo que x = 57 - y, então:

    4x + 2y = 184

    4*(57 - y) + 2y = 184
    228  - 4y + 2y = 184
    -2y = 184 - 228
    -2y = - 44 (* -1)
    2y = 44
    y = 44 ÷ 2
    y = 22

    Encontramos quantas motos havia no estacionamento, vamos achar quantos carros havia.

    x + y = 57

    x = 57 - y

    x = 57 - 22
    x = 35

    Havia 35 carros e 22 motos no estacionamento do condomínio.

    A resposta é a letra 'd'.

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    Nilton (LOMEUTEC)
    É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.blogspot.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.