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Grandezas inversamente proporcionais

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Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas a outra diminui com proporção igual ou diminuindo uma delas, a outra aumenta com proporção igual. Mais uma vez, será através de exemplos com exercício resolvidos que irei mostrar mais essa matéria de matemática cobrada em concursos e vestibulares.

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Concurseiro

1º Exemplo

Divida R$ 300,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 6.

Quando você for trabalhar com uma divisão inverta os números que representam as partes.

1/3 e 1/6

Agora faça o cálculo da divisão.

K =      300     
            1/3 + 1/6

K =      300     
                  3/6 

K =   300 * 6   = 600 
              3

 1/3  * 600 = 200

 1/6  * 600 = 100

Não lembra com se faz operações com frações? Veja em Simplificação, Operações e Tipos de Frações.

A resposta é:

3 = R$ 200,00
6 = R$ 100,00
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2º Exemplo

Três funcionários arquivaram um total de 382 documentos em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o número de documentos arquivados pelo funcionário mais velho foi:

Agora vamos separar algumas informações.

O X irá representar o funcionário com 28 anos.
O Y irá representar o funcionário com 32 anos.
O Z irá representar o funcionário com 36 anos.

K =       x + y + z      
         1/28 + 1/32 + 1/36

Veja que: X + Y + Z é igual a 382. Então:

K =            382           

         1/28 + 1/32 + 1/36

O MMC de 28, 32 e 36 é 2016. Sendo assim:

K =                    382                  
         72/2016 + 63/2016 + 56/2016

Não lembra com se calcula o M.M.C.? Veja em Fatoração, M.M.C. e M.D.C..

K =      382     
          191/2016

K =   382 * 2016  
                    191

K = 4032

Nós queremos saber somente quantos documentos foram arquivados pelo funcionário mais velho. Dessa forma:

1/36 * 4032 = 112

A resposta é:

O funcionário mais velho arquivou 112 documentos.

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3º Exemplo

Determinar x e y nas sucessões inversamente proporcionais a (4, 3, x) e (12, y, 2). 

Por ser inversamente proporcional, faremos o cálculo invertendo os números de dentro do segundo parênteses.

    4   =   3    x    
   1/12     1/y       x/2

OBS: Se fosse pedido para fazer o cálculo com sucessões diretamente proporcionais, não seria necessário inverter os números dentro do segundo parênteses.

Façamos os cálculos:

4 * 12 = 3 * y = x * 2

48 = 3y = 2x

Para achar o valor de x:

2x = 48
x = 48 ÷ 2
x = 24

Para achar o valor de y:

3y = 48
y = 48 ÷ 3
y = 16

A resposta é:

x = 24
y = 16
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Teste o seu conhecimento.

Exercícios

1) Com a velocidade de 80km/h, um automóvel percorre um trajeto em 5 horas. Qual deverá ser a sua velocidade para fazer o mesmo trajeto em 4 horas?

a) 100 km/h
b) 85 km/h
c) 95 km/h
d) 110 km/h

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2) A soma de 3 números é 380. Calcule-os sabendo que são inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4.

a) 200, 110, 70
b) 80, 90 e 210
c) 200, 80 e 100
d) 210, 100 e 70

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Respostas

Exercício 1

Aqui as grandezas são inversamente proporcionais, pois a medida que a velocidade aumenta, o tempo do percurso diminui.

Velocidade Tempo
80km/h 5 horas
x 4 horas

Calcula-se invertendo os elementos da grandeza:

80/x = 4/5

4x = 400
x = 400 ÷ 4
x = 100

A resposta é a letra 'a'.

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Exercício 2

São 3 números que somados tem como resultado 380. Sendo assim:

x + y + z = 380

Sabendo disso podemos montar a conta.

K =       x + y + z      
            1/2 + 1/5 + 1/4

O MMC de 25 e 4 é 20. Sendo assim:

K =            380              
         10/20 + 4/20 + 19/20

K =     380     
              20/19

K =   380 * 20  
                   19

K = 400

Sabendo disso já poderemos encontrar os valores.

X será o valor inversamente proporcional a 2.
Y será o valor inversamente proporcional a 5.
Z será o valor inversamente proporcional a 4.

x = 1/* 400 = 200
y = 1/* 400 = 80
z = 1/* 400 = 100

A resposta é a letra 'c'.

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Nilton (LOMEUTEC)
É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.
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