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Grandezas inversamente proporcionais

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    Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas a outra diminui com proporção igual ou diminuindo uma delas, a outra aumenta com proporção igual. Mais uma vez, será através de exemplos com exercício resolvidos que irei mostrar mais essa matéria de matemática cobrada em concursos e vestibulares.

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    Concurseiro

    1º Exemplo

    Divida R$ 300,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 6.

    Quando você for trabalhar com uma divisão inverta os números que representam as partes.

    1/3 e 1/6

    Agora faça o cálculo da divisão.

    K =      300     
                1/3 + 1/6

    K =      300     
                      3/6 

    K =   300 * 6   = 600 
                  3

     1/3  * 600 = 200

     1/6  * 600 = 100

    Não lembra com se faz operações com frações? Veja em Simplificação, Operações e Tipos de Frações.

    A resposta é:

    3 = R$ 200,00
    6 = R$ 100,00
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    2º Exemplo

    Três funcionários arquivaram um total de 382 documentos em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o número de documentos arquivados pelo funcionário mais velho foi:

    Agora vamos separar algumas informações.

    O X irá representar o funcionário com 28 anos.
    O Y irá representar o funcionário com 32 anos.
    O Z irá representar o funcionário com 36 anos.

    K =       x + y + z      
             1/28 + 1/32 + 1/36

    Veja que: X + Y + Z é igual a 382. Então:

    K =            382           

             1/28 + 1/32 + 1/36

    O MMC de 28, 32 e 36 é 2016. Sendo assim:

    K =                    382                  
             72/2016 + 63/2016 + 56/2016

    Não lembra com se calcula o M.M.C.? Veja em Fatoração, M.M.C. e M.D.C..

    K =      382     
              191/2016

    K =   382 * 2016  
                        191

    K = 4032

    Nós queremos saber somente quantos documentos foram arquivados pelo funcionário mais velho. Dessa forma:

    1/36 * 4032 = 112

    A resposta é:

    O funcionário mais velho arquivou 112 documentos.

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    3º Exemplo

    Determinar x e y nas sucessões inversamente proporcionais a (4, 3, x) e (12, y, 2). 

    Por ser inversamente proporcional, faremos o cálculo invertendo os números de dentro do segundo parênteses.

        4   =   3    x    
       1/12     1/y       x/2

    OBS: Se fosse pedido para fazer o cálculo com sucessões diretamente proporcionais, não seria necessário inverter os números dentro do segundo parênteses.

    Façamos os cálculos:

    4 * 12 = 3 * y = x * 2

    48 = 3y = 2x

    Para achar o valor de x:

    2x = 48
    x = 48 ÷ 2
    x = 24

    Para achar o valor de y:

    3y = 48
    y = 48 ÷ 3
    y = 16

    A resposta é:

    x = 24
    y = 16
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    Teste o seu conhecimento.

    Exercícios

    1) Com a velocidade de 80km/h, um automóvel percorre um trajeto em 5 horas. Qual deverá ser a sua velocidade para fazer o mesmo trajeto em 4 horas?

    a) 100 km/h
    b) 85 km/h
    c) 95 km/h
    d) 110 km/h

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    2) A soma de 3 números é 380. Calcule-os sabendo que são inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4.

    a) 200, 110, 70
    b) 80, 90 e 210
    c) 200, 80 e 100
    d) 210, 100 e 70

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    Respostas

    Exercício 1

    Aqui as grandezas são inversamente proporcionais, pois a medida que a velocidade aumenta, o tempo do percurso diminui.

    Velocidade Tempo
    80km/h 5 horas
    x 4 horas

    Calcula-se invertendo os elementos da grandeza:

    80/x = 4/5

    4x = 400
    x = 400 ÷ 4
    x = 100

    A resposta é a letra 'a'.

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    Exercício 2

    São 3 números que somados tem como resultado 380. Sendo assim:

    x + y + z = 380

    Sabendo disso podemos montar a conta.

    K =       x + y + z      
                1/2 + 1/5 + 1/4

    O MMC de 25 e 4 é 20. Sendo assim:

    K =            380              
             10/20 + 4/20 + 19/20

    K =     380     
                  20/19

    K =   380 * 20  
                       19

    K = 400

    Sabendo disso já poderemos encontrar os valores.

    X será o valor inversamente proporcional a 2.
    Y será o valor inversamente proporcional a 5.
    Z será o valor inversamente proporcional a 4.

    x = 1/* 400 = 200
    y = 1/* 400 = 80
    z = 1/* 400 = 100

    A resposta é a letra 'c'.

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    Nilton (LOMEUTEC)
    É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.
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