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Regra de três

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    Nas publicações sobre grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais foram resolvidos problemas envolvendo regra de três simples. Veremos como resolver problemas que exijam o uso da regra de três composta e para isso seguiremos alguns exemplos.

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    Concurseiro

    1º Exemplo

    Uma pessoa, datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza certo trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 toques por minuto e trabalhando 4 horas por dia, realizará o mesmo trabalho em quantos dias?

    Agora veremos uma forma de resolver isso através de alguns passos.

    1º) Fazer a disposição dos dados do problema.

    Toques por minutos
    Horas por dia
    Dias
    60
    6
    10
    50
    4
    x

    2º) Comparar as grandezas com a incógnita e verificar se são direta ou inversamente proporcionais..

    Quanto menor for a quantidade de toques por minuto, mais dias levará para concluir o trabalho. Portanto, trata-se de uma grandeza inversamente proporcional.

    Quanto menor for a quantidade de horas trabalhadas por dia, mais dias serão necessários para concluir o trabalho. Portanto trata-se de uma grandeza inversamente proporcional.

    Em ambas as comparações percebemos que tratam-se de grandezas inversamente proporcionais.

    3º) Montar a proporção, lembrando sempre que se as grandezas forem diretamente proporcionais, a montagem conserva-se, se forem inversamente proporcionais, inverte-se os valores.

    Toques por minutos
    Horas por dia
    Dias
    50
    4
    10
    60
    6
    x

    4º) Marque a linha e a coluna em que estiver a incógnita. O valor da incógnita será igual ao resultado da multiplicação dos valores que estiverem na mesma linha e coluna dessa incógnita dividido pelo resultado da multiplicação dos valores que não estiverem na mesma linha e coluna da incógnita.

    Toques por minutos
    Horas por dia
    Dias
    50
    4
    10
    60
    6
    x

    Agora é só resolver:

    x =  60 * 6 * 10  = 18 dias
               50 * 4

    A resposta é:

    A segunda pessoa levará 18 dias para executar o mesmo trabalho.

    _______________________________________

    2º Exemplo

    Quatro máquinas produzem 32 peças em 8 dias. Quantas peças iguais as primeiras serão produzidas por 10 máquinas em 6 dias?

    Vamos seguir as mesmas etapas que foram usadas no primeiro exemplo.

    1º) Montemos a tabela.

    Máquinas
    Peças
    Dias
    4
    32
    8
    10
    x
    6

    Agora observe algum muito importante. Sempre que a incógnita estiver no meio da tabela, nós deveremos deslocá-la para o canto, veja:

    Máquinas
    Dias
    Peças
    4
    8
    32
    10
    6
    x

    2º) Vamos comparar as grandezas com a incógnita para descobrir se são direta ou inversamente proporcionais.

    Quanto maior a quantidade de máquinas, maior será a quantidade de peças. Portanto, trata-se de uma grandeza diretamente proporcional.

    Quanto maior a quantidade de dias trabalhados, maior será a quantidade de peças produzidas. Portanto, trata-se de uma grandeza diretamente proporcional.

    Em ambas as comparações percebemos que tratam-se de grandezas diretamente proporcionais.

    3º) Montar a proporção, lembrando sempre que se as grandezas forem diretamente proporcionais, a montagem conserva-se, se forem inversamente proporcionais, inverte-se os valores.

    Como estamos lidando com grandezas diretamente proporcionais não precisaremos inverter nada. Fica tudo com está.

    4º) Marque a linha e a coluna em que estiver a incógnita. O valor da incógnita será igual ao resultado da multiplicação dos valores que estiverem na mesma linha e coluna dessa incógnita dividido pelo resultado da multiplicação dos valores que não estiverem na mesma linha e coluna da incógnita.

    Máquinas
    Dias
    Peças
    4
    8
    32
    10
    6
    x

    Agora é só resolver:


    x =  10 * 6 * 32  = 60 Peças

                4 * 8

    A resposta é:


    Serão produzidas 60 peças em 6 dias.

    _______________________________________

    3º Exemplo

    Uma máquina que funciona 8 horas por dia produz por mês 20000 peças. Quantas horas de funcionamento diário dessa máquina serão necessárias para produzir 2000 peças em 6 dias?

    1º) Montemos a tabela de acordo com o problema exposto.

    Peças
    Dias
    Horas
    20000
    30
    8
    2000
    6
    x

    2º) Fazemos a comparação das grandezas com a incógnita para determinar se são direta ou inversamente proporcionais.

    Veja só, se trabalhando 8 horas por dia durante 30 dias são produzidas 20000 peças, então quer dizer que por dia são produzidas em média 666 peças.

    20000 ÷ 30 = 666

    Na verdade essa divisão não dá um valor exato e sim uma dízima, mas o que importa é saber aproximadamente quantas peças são produzidas por dia para procedermos ao cálculo seguinte.

    Sendo assim, trabalhando 8 horas por dia em 6 dias serão produzidas em média 3996 peças.

    666 * 6 = 3996

    Fazendo essa conta, já foi possível perceber que para produzir 2000 peças em 6 dias seria necessário diminuir a quantidade de horas trabalhadas por dia, pois em um turno de 8 horas diárias, seriam produzidas 3996 peças ao final do sexto dia.

    Comparando a quantidade de peças com a incógnita vemos que se trata de uma grandeza diretamente proporcional, pois menos peças produzidas é igual a menos horas trabalhadas.

    Comparando a quantidade de dias com a incógnita veremos que, para produzir a mesma quantidade de peças (20000) com menos dias (6) teríamos que aumentar as horas trabalhadas. Portanto trata-se de uma grandeza inversamente proporcional.

    Tendo feito essas duas comparações, podemos perceber que esse problema envolve grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais ao mesmo tempo.

    3º) Montar a proporção, lembrando sempre que se as grandezas forem diretamente proporcionais, a montagem conserva-se, se forem inversamente proporcionais, inverte-se os valores.

    Como a quantidade de peças comparadas com a quantidade de horas revelou uma grandeza diretamente proporcional, deveremos manter os valores na coluna peças como estão.

    Como a quantidade de dias comparado com a quantidade de horas revelou uma grandeza inversamente proporcional, deveremos inverter os valores da coluna dias.

    Peças
    Dias
    Horas
    20000
    6
    8
    2000
    30
    x

    4º) Marque a linha e a coluna em que estiver a incógnita. O valor da incógnita será igual ao resultado da multiplicação dos valores que estiverem na mesma linha e coluna dessa incógnita dividido pelo resultado da multiplicação dos valores que não estiverem na mesma linha e coluna da incógnita.

    Peças
    Dias
    Horas
    20000
    6
    8
    2000
    30
    x

    Agora é só resolver:

    x =  2000 * 30 * 8  = 4
              20000 * 6

    A resposta é:


    Deverá funcionar 4 horas por dia.

    _______________________________________

    Teste o seu conhecimento, faça o exercício a seguir.

    Exercício

    1) Duas pessoas fazem 1/4 de certo trabalho em uma construção em 8 dias de 9 horas. Em quanto tempo, 4 pessoas trabalhando 6 horas por dia poderão fazer o trabalho completo?

    a) 44 dias
    b) 36 dias
    c) 72 dias
    d) 24 dias
    ________________________________________

    ________________________________________

    Respostas

    Exercício 1

    Começamos montando a tabela.

    Pessoas
    Trabalho
    Horas
    Dias
    2
    1/4
    9
    8
    4
    4/4
    6
    x

    OBS: Existe uma grandeza fracionária, como ambas possuem o mesmo denominador podemos descartá-los. Se os denominadores fossem diferentes bastaria igualá-los e depois sim descartá-los.

    Não lembra como igualar os denominadores de uma fração? Veja isso em Simplificação, Operações e Tipos de Frações

    Pessoas
    Trabalho
    Horas
    Dias
    2
    1
    9
    8
    4
    4
    6
    x

    Agora vamos analisar o problema.

    Se compararmos a quantidade de pessoas com a quantidade de dias, notaremos que trata-se de uma grandeza inversamente proporcional, pois quanto mais pessoas trabalhando na obra, menos dias serão necessários para concluí-la.

    Se compararmos a quantidade de trabalho a ser feito com a quantidade de dias necessários, veremos que trata-se de uma grandeza diretamente proporcional, pois quanto mais trabalho tiver para ser feito, mais dias serão necessários para concluí-lo.

    Se compararmos a quantidade de horas com a quantidade de dias necessários, veremos que trata-se de uma grandeza inversamente proporcional, pois quanto menos horas trabalhadas, mais dias serão necessários para a conclusão da obra.

    Sabendo dessas informações, montemos a tabela que irá nos auxiliar no cálculo.

    Dessa forma, a coluna "Pessoas" deverá ter seus valores invertidos, por tratar-se de uma grandeza inversamente proporcional em relação à incógnita do problema.

    A coluna "Trabalho" deverá permanecer como está. Por tratar-se de uma grandeza diretamente proporcional em relação à incógnita do problema.

    A coluna "Horas" deverá ter seus valores invertidos, por tratar-se de uma grandeza inversamente proporcional em relação à incógnita.

    A tabela ficará assim:

    Pessoas
    Trabalho
    Horas
    Dias
    4
    1
    6
    8
    2
    4
    9
    x

    Agora é só calcular:

    x =  2 * 4 * 9 * 8  = 24

              4 * 1 * 6

    Como você dever ter percebido, esse tipo de problema envolve mais raciocínio e interpretação do que cálculo propriamente dito.

    A resposta é a letra'd'.

    _______________________________________

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    Nilton (LOMEUTEC)
    É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.blogspot.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.
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