Lomeutec - Tutoriais e Informação

Montante e juros compostos

  • Publicidade: Powered by Google

    Na publicação anterior sobre matemática para concursos, foi explicado um pouco sobre juros simples. Nessa será falado sobre o cálculo do montante, que é o capital inicial acrescido de juros, preparando o terreno para poder mostrar também como calcular juros compostos.

    Ir para o índice

    Concurseiro

    Montante

    Para calcular o montante temos a fórmula:

    M = C * (1 + i * n)

    Onde:

    M = Montante
    C = Capital inicial
    i = Taxa
    n = Tempo

    Vamos então aos exemplos, que são a forma mais fácil para o entendimento da matéria.

    1º Exemplo

    Determine o montante de um capital de R$ 600,00, aplicado durante 8 meses e com uma taxa de juros simples anual de 18%.

    Vamos separar os dados:

    M = ?
    C = 600
    i = 18%
    n = 8

    Vamos analisar a questão:

    A taxa é anual, mas o tempo da aplicação está sendo contado em meses, portanto precisamos colocar os dois na mesma unidade de tempo para conseguirmos realizar a operação.

    8/12

    Onde 12 são os meses do ano.

    Dizer 18% é o mesmo que 0,18 ou 18/100. Sendo assim vamos montar a fórmula.

    M = C * (1 + i * n)

    M = 600 * (1 + 18/100 * 8/12)

    M = 600 * (1 + 144/1200)

    M = 600 * (1 + 0,12)

    M = 600 * 1,12

    M = 672

    Resposta:

    O montante do capital de R$ 600,00 acumulado durante 8 meses a uma taxa de 18% é de R$ 672,00.

    _______________________________________

    Com esse primeiro exemplo já podemos ver sobre os juros compostos e trabalhar mais com o cálculo de montantes.

    Juros Compostos

    Os juros compostos são aqueles que chamamos de juros sobre juros. Funciona da seguinte forma:

    Imagine R$ 300,00 aplicados durante 3 meses em um investimento com uma taxa mensal de 3%.

    Se considerarmos juros simples, o montante gerando no final do 3º mês seria de R$ 327,00.

    O cálculo foi feito com a seguinte fórmula para cálculo de juros simples:

    J = C * i * n


    J = 300 * 0,03 * 3
    J = 27

    Para calcular o montante usei a fórmula:

    M = C + J

    M = 300 + 27
    M = 327

    Resposta: R$ 327,00

    Seria o mesmo que dizer que foi aplicado 9% em cima do capital de R$ 300,00. O mesmo não acontece com os juros compostos.

    Agora vamos considerar esse mesmo enunciado usando cálculo de juros composto.

    Para calcular os juros compostos usamos a fórmula:

    M = C * (1 + i)n

    Calculando:

    M = 300 * (1 + 0,03)3

    O parênteses nos obriga a resolvê-lo primeiro, portanto:

    M = 300 * 1,033

    M = 300 * 1,092727

    Lembre-se de que potenciação é uma multiplicação de fatores iguais e que 1,03 é igual a 103/100, sendo assim:


    103/100 * 103/100 * 103/100 = 1092727/1000000 ou 1,092727

    Continuando:

    M = 327,8181

    Resposta: R$ 327,81

    Essa diferença nos centavos apareceu porque o cálculo de juros composto de um mês é feito em cima do montante do mês anterior.

    Explicação:

    O capital inicial era R$ 300,00 e o juros aplicado no primeiro mês foi de 3%. Então no primeiro mês o rendimento dessa aplicação gerou um montante de R$ 309,00.

    No segundo mês o juros ainda era de 3%, mas dessa vez ele seria calculado em cima do montante do mês anterior, ou seja, R$ 309,00. Isso gerou no segundo mês um montante de R$ 318,27.

    No terceiro mês o cálculo foi de 3% de juros em cima do montante do mês anterior, que no final gerou um montante de R$ 327,81.

    Com isso já deve ter ficado claro a diferença do cálculo do juros simples e do juros composto. Vamos então a mais exemplos.

    _______________________________________

    2º Exemplo

    Durante quanto tempo esteve aplicado em uma poupança, o capital de R$ 180.000,00 para render, de juros, a importância de R$ 22.248,00, se a taxa foi de 6% ao mês?

    OBS:
    Log de 1,1236 = 0,050611731
    Log de 1,06 = 0,025305865

    Vamos separar os dados:

    C = 180000
    J = 22248
    i = 6%
    n = ?

    Vamos analisar os dados:

    Sabemos que a fórmula para calcular o montante precisamos somar o capital inicial com os juros obtidos, portanto:

    M = C + J
    M = 180000 + 22248
    M = 202248

    Vamos calcular:

    M = C * (1 + i)n

    202248 = 180000 * (1 + 0,06)n

    202248/180000 = 1,06n

    Nesse ponto seremos obrigados a usar a propriedade dos logaritmos. Se quiser entender como funciona as propriedades dos logaritmos veja o vídeo abaixo, mas entender essa propriedade não tem tanta importância para esse caso, o que você deve entender é que é necessário isolar a incógnita, e é através desse artifício que faremos isso.


    Continuando:

    log 1,1236 = n * log 1,06

    log 1,1236/log 1,06 = n

    2 = n

    Resposta:

    Esteve aplicado durante 2 meses.

    _______________________________________

    Tente resolver os exercícios a seguir. Somente assim você aprenderá de verdade.

    Exercícios

    1) Aplicou-se juros composto a um capital de R$ 1.400.000,00, a 4% ao mês, durante 3 meses. Determine o montante produzido nesse período.

    a) R$ 1.574.809,00
    b) R$ 1.074.809,24
    c) R$ 1.574.849,80
    d) R$ 1.574.809,60

    _______________________________________

    2) Por quanto tempo devo aplicar um capital à taxa de 10% para que ele dobre de valor?

    OBS: Auxilie-se pela tabela abaixo:

    Tabela de logaritmos
    Log
    Log
    1
    0
    1,6
    0,204119983
    1,1
    0,0413926852
    1,7
    0,230448921
    1,2
    0,079181246
    1,8
    0,255272505
    1,3
    0,113943352
    1,9
    0,278753601
    1,4
    0,146128036
    2,0
    0.301029996
    1,5
    0,176091259
    2,1
    0,322219295

    a) Mais de 7 e menos de 8 meses.
    b) Mais de 12 e menos de 13 meses.
    c) Mais de 6 e menos de 7 meses.
    d) Mais de 16 e menos de 17 meses.

    ________________________________________

    ________________________________________

    Respostas

    Exercício 1

    Vamos separar os dados:

    M = ?
    C = 1400000
    i = 4%
    n = 3 meses

    Resolução:

    M = C * (1+ i)n

    M = 1400000 * (1+ 0,04)3
    M = 1400000 * 1,043
    M = 1400000 * 1,124864
    M = 1574809,6

    A resposta é letra 'd'.

    _______________________________________

    Exercício 2

    Vamos separar e analisar os dados:

    O enunciado diz:

    "Por quanto tempo devo aplicar um capital à taxa de 10% para que ele dobre de valor?"

    Isso que dizer que o montante deverá ser o dobro do capital inicial, portanto:

    M = 2C

    O enunciado não diz de quanto é esse capital.

    C = ?

    A taxa aplicada será de 10%.

    i = 10%

    Mas o tempo da aplicação é o foco da questão.

    n = ?

    Sendo assim:

    M = 2C
    C = ?
    i = 10%
    n = ?

    Resolução:

    M = C * (1+ i)n

    2C = C * (1+ 0,10)n
    2C = C * 1,10n
    2C/C = 1,10n
    2 = 1,10n

    Temos que empregar a propriedade dos logaritmos.

    log 2 = n * log 1,10

    Log 2/Log 1,1 = n

    E agora temos que consultar a tabela.

    0,30103/0,04139 = n

    7,27 = n

    A resposta é a letra 'a'

    _______________________________________

    Para o anterior - Para o próximo

    Nilton (LOMEUTEC)
    É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.blogspot.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.