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Progressões Aritméticas - Parte I

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    As progressões são sequências numéricas com propriedades matemáticas. No caso da progressão aritmética, chamada comumente de PA, será uma sequência de números onde cada termo (exceto o primeiro) é resultado da soma do termo anterior com uma constante chamada de razão. Sempre que se tenta explicar algo em matemática parece que fica meio vago e é por isso que veremos exemplos que deixarão claro o que foi dito acima.

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    Concurseiro

    Veja por exemplo a sequência abaixo:

    PA = {3, 6, 9, 12, 15}

    Nessa PA a constante, que é chamada de razão da PA, é 3.

    Eu sei disso porque, como diz o enunciado, uma PA é uma sequência de números onde cada termo, exceto o primeiro, é resultado da soma do termo anterior com uma constante chamada razão.

    Para saber qual é a razão dessa PA basta usar a lógica. A operação inversa a soma é a subtração e em certo trecho diz que "cada termo, exceto o primeiro, é resultado da soma do termo anterior", se eu pegar o último termo na PA e subtrair do termo anterior irei achar a razão.

    15 - 12 = 3

    Se eu pegar o penúltimo termo e subtrair com o termo anterior irei achar a razão.

    12 - 9 = 3

    Se eu pegar o antepenúltimo termo e subtrair do termo anterior irei achar a razão.

    9 - 6 = 3

    E assim por diante.

    Tipos de PA

    Existem 3 tipos:

    Crescente

    PA={ 1, 4, 7, 10, 13, 16}
    Razão = 3

    Decrescente

    PA={ 7, 4, 1, -2, -5, -8}
    Razão = -3

    Constante

    PA= (45, 45, 45, 45, 45}
    Razão = 0

    Fórmula do Termo Geral

    an = a1 + (n – 1) . r

    Essa fórmula serve para acharmos o enésimo termo em uma PA.

    Enésimo é palavra derivada de "n", uma variável que pode assumir qualquer valor desejado. Na matemática usa-se o termo "n" para representar algo que pode assumir qualquer valor dentro de um universo.

    Como ler a fórmula?

    an é o último termo da PA
    a1 é o primeiro termo de uma PA
    n é o número total de termos em uma PA
    r é razão de uma PA

    Por exemplo:

    PA = {3, 5, 7, 9}

    an = 9
    a1 = 3
    n = 4
    r = 2

    Uma PA também poderia ser representada assim:

    PA = {a1, a2, a3, a4}

    Onde, nesse caso:

    a1 = 3
    a2 = 5
    a3 = 7
    a4 = 9

    Vamos a um exemplo prático envolvendo problemas.

    Exemplo

    Numa PA de 7 termos, o primeiro termo é 6 e o segundo é 10. Qual é o último termo dessa PA?

    A primeira coisa, como sempre, é separar os dados importantes do problema. Sabemos que serão 7 termos no total, então:

    n = 7

    O enunciado diz que o primeiro termo é 6:

    a1 = 6

    E o segundo termo é 10:

    a2 = 10

    Esse segundo termo da PA será importante para acharmos a razão.

    A razão é a diferença entres os termos da PA, e muitas vezes identificada pela letra "d", justamente por tratar-se da diferença entre os termos.

    Portanto:

    a2 - a1 = r
    10 - 6 = 4
     
     r = 4

    Montamos então a fórmula:

    an = a1 + (n - 1).r

    Substituindo os valores:

    an = 6 + (7  - 1).4

    Ficou fácil, é só resolver:

    an = 6 + 24
    an = 30

    Resposta:

    O último termo dessa PA é 30

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    Essa é a primeira parte sobre progressões ariméticas, uma introdução para relembrar o básico. Haverão outras publicações e obviamente a tendência é sair desse nível infantil para um nível de vestibular. Por hora, faça os exercícios abaixo.

    Exercícios

    1) Numa PA de 5 termos, o último termo é -20 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PA.

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    2) Numa PA temos a4 = 183 e a5 = 200. Calcule d.

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    3) Numa PA temos a3 = 13 e a6 = 25. Calcule a1.

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    Respostas

    Exercício 1

    Sabemos que:

    n = 5
    an = -20
    r = -3

    Precisaremos descobrir a1 e para isso usaremos a fórmula.

    an = a1 + (n -1).r

    -20 = a1 + (5 - 1).(-3)
    -20 = a1 - 12
    -20 + 12 = a1
    -8 = a1

    Descobrimos que o primeiro termo dessa PA é -8 e agora podemos montá-la.

    Resposta:

    PA = {-8, -11, -14, -17, -20}

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    Exercício 2

    Bom, eu já havia explicado que a razão também pode ser indicada pela letra d.

    Os dados que temos do enunciado são:

    a4 = 183
    a5 = 200

    Muito fácil calcular, já que os dois termos dados são consecutivos basta subtrair o a5 pelo a4 para achar a razão.

    a4 - a5 = d
    183 - 200 = d

    d = 17

    Resposta:

    d é igual a 17

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    Exercício 3

    Os dados que temos nesse enunciado são:

    a3 = 13
    a6 = 25

    Não sabemos:

    an = ?
    n = ?
    r = ?
    a1 = ?

    Ou seja, o enunciado não nos deu dados diretos, apenas dicas.

    Sabemos que para achar a razão temos que subtrair dois termos consecutivos da PA.

    Usando a lógica:

    Quantos termos existem entre a3 e a6?

    Sabemos que existem 3 termos e a partir daí podemos elaborar um raciocínio.

    Se subtrairmos o maior termo pelo menor, ou seja a6 - a3 encontraremos 12.

    a6 - a3 = ?
    25 - 13 = 12

    Como existe uma diferença de 3 termos entre a6 e a3, pegamos o resultado e dividimos por 3.

    12 ÷ 3 = 4

    Essa é a razão da PA e com ela podemos achar os demais termos.

    a3 - r = a2
    13 - 4 = 9

    a2 - r = a1
    9 - 4 = 5

    Encontramos o resultado.

    Resposta:

    Nessa PA, o termo a1 é 5

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    Nilton (LOMEUTEC)
    É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.blogspot.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.