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Progressões Aritméticas - Parte II

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    As progressões são sequências numéricas com propriedades matemáticas. Isso já foi dito na Parte I dessa publicação. O que será visto agora é a relação entre dois termos de uma PA e como resolver problemas relacionados a este tema. Como sempre, esse tópico será abordado e apresentado em forma de exercícios resolvidos e uma prática no final.

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    Concurseiro

    Consideremos dois termos de uma mesma PA, como por exemplo a5 e a8. Suas posições são dadas pelos índices 5 e 8. Um é o quinto termo e o outro é o oitavo termo. A diferença entre esses índices é 3, pois a5 está 3 posições atrás de a8 .

    Numa PA, a diferença entre dois termos consecutivos é igual  a razão. Um exercício envolvendo esse raciocínio foi apresentado na publicação anterior.

    No exemplo atual, a diferença entre o termo mais avançado e o outro é de 3 razões, ou 3d.

    a8 - a5 = 3d

    Fórmula da relação entre dois termos de uma PA

    an - am = (n - m)d

    Exemplo

    Relacione dois termos de uma PA, considerando que um seja o segundo termo e o outro o décimo termo.

    O enunciado diz que devemos trabalhar com dois termos dessa PA, a2 e a10 .

    As variáveis da fórmula são:

    an, am, n, m, d

    Onde:

    an = a10
    am = a2
    n = 10
    m = 2

    Ficando assim:

    a10 - a2 = (10 - 2)d

    Ou seja:

    a10 - a2 = 8d

    Desse jeito conseguimos relacionar o segundo ao décimo termo da PA.

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    Exemplo

    O sexto termo de uma PA é 70 e o décimo é 114. Qual a razão da PA?

    Sabemos que:

    a6 = 70
    a10 = 114

    Então substituímos na fórmula.

    an - am = (n - m)d

    a10 - a6 = (10 - 6)d
    a10 - a6 = 4d

    Obtivemos outra fórmula.

     a10 - a6 = 4d

    É só substituir pelos valores que conhecemos.

    a10 - a6 = 4d
    144 - 70 = 4d
    44 = 4d

    d = 44/4
    d = 11


    Resposta:

    A razão dessa PA é 11.

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    Exemplo

    Numa PA, o 13º termo é 29 e o 25º termo é 53. Calcule o valor do terceiro termo da PA.

    Os dados que temos são:

    a13 = 29
    a25 = 53
    a3 = ?
    d = ?

    Não sabemos qual é a razão. Vamos encontrá-la primeiro relacionando os termos dados.

    an - am = (n - m)d

    a25 - a13 = (25 - 13)d
    a25 - a13 = 12d

    Vamos substituir os valores pelos que já conhecemos:

    a25 - a13 = 12d

    53 - 29 = 12d
    24 = 12d
    d = 2412
    d = 2

    Agora que já sabemos que a razão dessa PA é 2, vamos relacionar um dos termos conhecidos, a13 ou a25 com o termo que procuramos, que no caso é a3.

    an - am = (n - m)d

    a13 - a3 = (13 - 3)d
    a13 - a3 = 10d

    29 - a3 = 10*2
    29 - a3 = 20
    29 - 20 = a3
    9 = a3

    Achamos a3 relacionando com o 13º termo dessa PA. Se fizéssemos com o 25º termo encontraríamos a resposta também. Veja:

    an - am = (n - m)d

    a25 - a3 = (25 - 3)d
    a25 - a3 = 22d

    53 - a3 = 22*2
    53 - a3 =44
    53 - 44 = a3
    9 = a3

    Resposta:

    O 13º termo dessa PA é 9.

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    Por enquanto faça os exercícios abaixo. A próxima publicação será sobre PG e mais tarde voltaremos a ver mais exemplos com exercícios de PA para destrinchar esse assunto de uma vez.

     Exercícios

    1) O primeiro termo de uma PA é 2 e o quinto é 16. Calcule a Razão dessa PA e escreva seus 5 primeiros termos.

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    2) O terceiro termo de uma PA é 22 e o oitavo é 52. Calcule o vigésimo termo.

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    3) Num certo país, o primeiro presidente iniciou o seu mandato em 1870 e governou por 6 anos assim como seus sucessores. Em qual governo encontra-se atualmente esse país?

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    Respostas

    Exercício 1

    Vamos separar os dados que o enunciado nos deu:

    a1 = 2
    a5 = 16
    d = ?

    A primeira coisa pedida é que se calcule a razão.

    an - am = (n - m)d

    a5 - a1 = (5 - 1)d
    a5 - a1 = 4d
    16 - 2 = 4d
    14 = 4d
    d = 14/4
    d = 3,5

    A razão dessa PA é 3,5. Agora ficou fácil escrever os 5 primeiros termos.

    a1 + d = a2
    2 + 3,5 = a2
    5,5 = a2

    a2 + d = a3
    5,5 + 3,5 = a3
    9 = a3

    a3 + d = a4
    9 + 3,5 = a4
    12,5 = a4

    Resposta:

    A razão dessa PA é 3,5 e seus 5 primeiros termos são: 2; 5,5; 9; 12,5 e 16.

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    Exercício 2

    A primeira coisa é sempre separar os dados que o enunciado dá para podermos organizar as idéias.

    a3 = 22
    a8 = 52
    a20 = ?
    d = ?

    Vamos relacionar os termos conhecidos para acharmos a Razão da PA.

    an - am = (n - m)d

    a8 - a3 = (8 - 3)d
    a8 - a3  = 5d
    52 - 22 = 5d
    30 = 5d
    d = 30/5
    d = 6

    Agora que já sabemos que a razão dessa PA é 6, vamos relacionar um dos termos conhecidos, a3 ou a8 com o termo que procuramos, que no caso é a20.

    an - am = (n - m)d

    a20 - a3 = (20 - 3)d
    a20 - a3 = 17d
    a20 - 22 = 17*6
    a20 - 22 = 102
    a20 = 102 + 22
    a20 = 124

    Não é necessário fazer com a8, nós já achamos a resposta. No entanto eu farei como exemplo de que o resultado será o mesmo.

    an - am = (n - m)d

    a20 - a8 = (20 - 8)d
    a20 - a8 = 12d

    a20 - 52 = 12*6
    a20 - 52 =72
    a20 = 72 + 52
    a20 = 124

    Resposta:

    O vigésimo termo dessa PA é 124.

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    Exercício 3

    Vamos analisar o enunciado:

    "o primeiro presidente iniciou o seu mandato em 1870"

    Isso quer dizer que:

    a1 = 1870

    "governou por 6 anos assim como seus sucessores"

    d = 6

    Pois há mudança de governante a cada 6 anos.

    "Em qual governo encontra-se atualmente esse país?"

    Bom, nesse caso responderei com base no ano em que foi feita essa publicação, ou seja, 2011.

    an = 2011

    Porque an = 2011? Lembra da publicação anterior sobre PA? Lá eu mostro a fórmula do Termo Geral em que "an" representa o último termo de uma PA.

    É essa fórmula que iremos usar.

    an = a1 + (n – 1) . r

    Lembre-se de que r ou d representam a Razão em uma PA.

    2011 = 1870 + (n - 1).6
    2011 - 1870 = (n - 1).6
    141 = (n - 1).6
    141 = 6n - 6
    141 + 6 = 6n
    147 = 6n
    n = 148/6
    n = 24,5

    Esse país encontra-se atualmente em meio ao mandato do 24º presidente.

    Resposta:

    Encontra-se no 24º governo.

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    Nilton (LOMEUTEC)
    É formado como técnico em informática com ênfase em análise de sistemas e programação comercial. No entanto gosta mesmo é de fazer publicações para o blog lomeutec.blogspot.com onde compartilha grande parte do pouco conhecimento autodidata que adquire através de experiências, estudos diários e até mesmo de tudo aquilo que descobre enquanto navega despreocupadamente pela internet em seus momentos de ócio. Aqui no LTI acumula funções de publicador, moderador, editor, administrador e o que mais for possível e necessário.