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Progressões Aritméticas - Parte II

As progressões são sequências numéricas com propriedades matemáticas. Isso já foi dito na Parte I dessa publicação. O que será visto agora é a relação entre dois termos de uma PA e como resolver problemas relacionados a este tema. Como sempre, esse tópico será abordado e apresentado em forma de exercícios resolvidos e uma prática no final.

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Concurseiro

Consideremos dois termos de uma mesma PA, como por exemplo a5 e a8. Suas posições são dadas pelos índices 5 e 8. Um é o quinto termo e o outro é o oitavo termo. A diferença entre esses índices é 3, pois a5 está 3 posições atrás de a8 .

Numa PA, a diferença entre dois termos consecutivos é igual  a razão. Um exercício envolvendo esse raciocínio foi apresentado na publicação anterior.

No exemplo atual, a diferença entre o termo mais avançado e o outro é de 3 razões, ou 3d.

a8 - a5 = 3d

Fórmula da relação entre dois termos de uma PA

an - am = (n - m)d

Exemplo

Relacione dois termos de uma PA, considerando que um seja o segundo termo e o outro o décimo termo.

O enunciado diz que devemos trabalhar com dois termos dessa PA, a2 e a10 .

As variáveis da fórmula são:

an, am, n, m, d

Onde:

an = a10
am = a2
n = 10
m = 2

Ficando assim:

a10 - a2 = (10 - 2)d

Ou seja:

a10 - a2 = 8d

Desse jeito conseguimos relacionar o segundo ao décimo termo da PA.

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Exemplo

O sexto termo de uma PA é 70 e o décimo é 114. Qual a razão da PA?

Sabemos que:

a6 = 70
a10 = 114

Então substituímos na fórmula.

an - am = (n - m)d

a10 - a6 = (10 - 6)d
a10 - a6 = 4d

Obtivemos outra fórmula.

 a10 - a6 = 4d

É só substituir pelos valores que conhecemos.

a10 - a6 = 4d
144 - 70 = 4d
44 = 4d

d = 44/4
d = 11


Resposta:

A razão dessa PA é 11.

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Exemplo

Numa PA, o 13º termo é 29 e o 25º termo é 53. Calcule o valor do terceiro termo da PA.

Os dados que temos são:

a13 = 29
a25 = 53
a3 = ?
d = ?

Não sabemos qual é a razão. Vamos encontrá-la primeiro relacionando os termos dados.

an - am = (n - m)d

a25 - a13 = (25 - 13)d
a25 - a13 = 12d

Vamos substituir os valores pelos que já conhecemos:

a25 - a13 = 12d

53 - 29 = 12d
24 = 12d
d = 2412
d = 2

Agora que já sabemos que a razão dessa PA é 2, vamos relacionar um dos termos conhecidos, a13 ou a25 com o termo que procuramos, que no caso é a3.

an - am = (n - m)d

a13 - a3 = (13 - 3)d
a13 - a3 = 10d

29 - a3 = 10*2
29 - a3 = 20
29 - 20 = a3
9 = a3

Achamos a3 relacionando com o 13º termo dessa PA. Se fizéssemos com o 25º termo encontraríamos a resposta também. Veja:

an - am = (n - m)d

a25 - a3 = (25 - 3)d
a25 - a3 = 22d

53 - a3 = 22*2
53 - a3 =44
53 - 44 = a3
9 = a3

Resposta:

O 13º termo dessa PA é 9.

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Por enquanto faça os exercícios abaixo. A próxima publicação será sobre PG e mais tarde voltaremos a ver mais exemplos com exercícios de PA para destrinchar esse assunto de uma vez.

 Exercícios

1) O primeiro termo de uma PA é 2 e o quinto é 16. Calcule a Razão dessa PA e escreva seus 5 primeiros termos.

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2) O terceiro termo de uma PA é 22 e o oitavo é 52. Calcule o vigésimo termo.

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3) Num certo país, o primeiro presidente iniciou o seu mandato em 1870 e governou por 6 anos assim como seus sucessores. Em qual governo encontra-se atualmente esse país?

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Respostas

Exercício 1

Vamos separar os dados que o enunciado nos deu:

a1 = 2
a5 = 16
d = ?

A primeira coisa pedida é que se calcule a razão.

an - am = (n - m)d

a5 - a1 = (5 - 1)d
a5 - a1 = 4d
16 - 2 = 4d
14 = 4d
d = 14/4
d = 3,5

A razão dessa PA é 3,5. Agora ficou fácil escrever os 5 primeiros termos.

a1 + d = a2
2 + 3,5 = a2
5,5 = a2

a2 + d = a3
5,5 + 3,5 = a3
9 = a3

a3 + d = a4
9 + 3,5 = a4
12,5 = a4

Resposta:

A razão dessa PA é 3,5 e seus 5 primeiros termos são: 2; 5,5; 9; 12,5 e 16.

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Exercício 2

A primeira coisa é sempre separar os dados que o enunciado dá para podermos organizar as idéias.

a3 = 22
a8 = 52
a20 = ?
d = ?

Vamos relacionar os termos conhecidos para acharmos a Razão da PA.

an - am = (n - m)d

a8 - a3 = (8 - 3)d
a8 - a3  = 5d
52 - 22 = 5d
30 = 5d
d = 30/5
d = 6

Agora que já sabemos que a razão dessa PA é 6, vamos relacionar um dos termos conhecidos, a3 ou a8 com o termo que procuramos, que no caso é a20.

an - am = (n - m)d

a20 - a3 = (20 - 3)d
a20 - a3 = 17d
a20 - 22 = 17*6
a20 - 22 = 102
a20 = 102 + 22
a20 = 124

Não é necessário fazer com a8, nós já achamos a resposta. No entanto eu farei como exemplo de que o resultado será o mesmo.

an - am = (n - m)d

a20 - a8 = (20 - 8)d
a20 - a8 = 12d

a20 - 52 = 12*6
a20 - 52 =72
a20 = 72 + 52
a20 = 124

Resposta:

O vigésimo termo dessa PA é 124.

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Exercício 3

Vamos analisar o enunciado:

"o primeiro presidente iniciou o seu mandato em 1870"

Isso quer dizer que:

a1 = 1870

"governou por 6 anos assim como seus sucessores"

d = 6

Pois há mudança de governante a cada 6 anos.

"Em qual governo encontra-se atualmente esse país?"

Bom, nesse caso responderei com base no ano em que foi feita essa publicação, ou seja, 2011.

an = 2011

Porque an = 2011? Lembra da publicação anterior sobre PA? Lá eu mostro a fórmula do Termo Geral em que "an" representa o último termo de uma PA.

É essa fórmula que iremos usar.

an = a1 + (n – 1) . r

Lembre-se de que r ou d representam a Razão em uma PA.

2011 = 1870 + (n - 1).6
2011 - 1870 = (n - 1).6
141 = (n - 1).6
141 = 6n - 6
141 + 6 = 6n
147 = 6n
n = 148/6
n = 24,5

Esse país encontra-se atualmente em meio ao mandato do 24º presidente.

Resposta:

Encontra-se no 24º governo.

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Progressões Aritméticas - Parte I

As progressões são sequências numéricas com propriedades matemáticas. No caso da progressão aritmética, chamada comumente de PA, será uma sequência de números onde cada termo (exceto o primeiro) é resultado da soma do termo anterior com uma constante chamada de razão. Sempre que se tenta explicar algo em matemática parece que fica meio vago e é por isso que veremos exemplos que deixarão claro o que foi dito acima.

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Concurseiro

Veja por exemplo a sequência abaixo:

PA = {3, 6, 9, 12, 15}

Nessa PA a constante, que é chamada de razão da PA, é 3.

Eu sei disso porque, como diz o enunciado, uma PA é uma sequência de números onde cada termo, exceto o primeiro, é resultado da soma do termo anterior com uma constante chamada razão.

Para saber qual é a razão dessa PA basta usar a lógica. A operação inversa a soma é a subtração e em certo trecho diz que "cada termo, exceto o primeiro, é resultado da soma do termo anterior", se eu pegar o último termo na PA e subtrair do termo anterior irei achar a razão.

15 - 12 = 3

Se eu pegar o penúltimo termo e subtrair com o termo anterior irei achar a razão.

12 - 9 = 3

Se eu pegar o antepenúltimo termo e subtrair do termo anterior irei achar a razão.

9 - 6 = 3

E assim por diante.

Tipos de PA

Existem 3 tipos:

Crescente

PA={ 1, 4, 7, 10, 13, 16}
Razão = 3

Decrescente

PA={ 7, 4, 1, -2, -5, -8}
Razão = -3

Constante

PA= (45, 45, 45, 45, 45}
Razão = 0

Fórmula do Termo Geral

an = a1 + (n – 1) . r

Essa fórmula serve para acharmos o enésimo termo em uma PA.

Enésimo é palavra derivada de "n", uma variável que pode assumir qualquer valor desejado. Na matemática usa-se o termo "n" para representar algo que pode assumir qualquer valor dentro de um universo.

Como ler a fórmula?

an é o último termo da PA
a1 é o primeiro termo de uma PA
n é o número total de termos em uma PA
r é razão de uma PA

Por exemplo:

PA = {3, 5, 7, 9}

an = 9
a1 = 3
n = 4
r = 2

Uma PA também poderia ser representada assim:

PA = {a1, a2, a3, a4}

Onde, nesse caso:

a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7
a4 = 9

Vamos a um exemplo prático envolvendo problemas.

Exemplo

Numa PA de 7 termos, o primeiro termo é 6 e o segundo é 10. Qual é o último termo dessa PA?

A primeira coisa, como sempre, é separar os dados importantes do problema. Sabemos que serão 7 termos no total, então:

n = 7

O enunciado diz que o primeiro termo é 6:

a1 = 6

E o segundo termo é 10:

a2 = 10

Esse segundo termo da PA será importante para acharmos a razão.

A razão é a diferença entres os termos da PA, e muitas vezes identificada pela letra "d", justamente por tratar-se da diferença entre os termos.

Portanto:

a2 - a1 = r
10 - 6 = 4
 
 r = 4

Montamos então a fórmula:

an = a1 + (n - 1).r

Substituindo os valores:

an = 6 + (7  - 1).4

Ficou fácil, é só resolver:

an = 6 + 24
an = 30

Resposta:

O último termo dessa PA é 30

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Essa é a primeira parte sobre progressões ariméticas, uma introdução para relembrar o básico. Haverão outras publicações e obviamente a tendência é sair desse nível infantil para um nível de vestibular. Por hora, faça os exercícios abaixo.

Exercícios

1) Numa PA de 5 termos, o último termo é -20 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PA.

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2) Numa PA temos a4 = 183 e a5 = 200. Calcule d.

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3) Numa PA temos a3 = 13 e a6 = 25. Calcule a1.

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Respostas

Exercício 1

Sabemos que:

n = 5
an = -20
r = -3

Precisaremos descobrir a1 e para isso usaremos a fórmula.

an = a1 + (n -1).r

-20 = a1 + (5 - 1).(-3)
-20 = a1 - 12
-20 + 12 = a1
-8 = a1

Descobrimos que o primeiro termo dessa PA é -8 e agora podemos montá-la.

Resposta:

PA = {-8, -11, -14, -17, -20}

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Exercício 2

Bom, eu já havia explicado que a razão também pode ser indicada pela letra d.

Os dados que temos do enunciado são:

a4 = 183
a5 = 200

Muito fácil calcular, já que os dois termos dados são consecutivos basta subtrair o a5 pelo a4 para achar a razão.

a4 - a5 = d
183 - 200 = d

d = 17

Resposta:

d é igual a 17

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Exercício 3

Os dados que temos nesse enunciado são:

a3 = 13
a6 = 25

Não sabemos:

an = ?
n = ?
r = ?
a1 = ?

Ou seja, o enunciado não nos deu dados diretos, apenas dicas.

Sabemos que para achar a razão temos que subtrair dois termos consecutivos da PA.

Usando a lógica:

Quantos termos existem entre a3 e a6?

Sabemos que existem 3 termos e a partir daí podemos elaborar um raciocínio.

Se subtrairmos o maior termo pelo menor, ou seja a6 - a3 encontraremos 12.

a6 - a3 = ?
25 - 13 = 12

Como existe uma diferença de 3 termos entre a6 e a3, pegamos o resultado e dividimos por 3.

12 ÷ 3 = 4

Essa é a razão da PA e com ela podemos achar os demais termos.

a3 - r = a2
13 - 4 = 9

a2 - r = a1
9 - 4 = 5

Encontramos o resultado.

Resposta:

Nessa PA, o termo a1 é 5

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Montante e juros compostos

Na publicação anterior sobre matemática para concursos, foi explicado um pouco sobre juros simples. Nessa será falado sobre o cálculo do montante, que é o capital inicial acrescido de juros, preparando o terreno para poder mostrar também como calcular juros compostos.

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Juros simples

É uma compensação que se recebe ao dispor uma quantia para outra pessoa. O juro recebido depende do tempo , da quantia e da taxa estabelecida. Juros simples são representados pela letra "J". O dinheiro que se aplica é chamado de capital, representado pela letra "C". O tempo ou o período que esse dinheiro aplicado é representado pela letra "n". A taxa é a porcentagem que deverá ser cobrada pelo tempo que o dinheiro ficou aplicado, sendo seu valor unitário ( 1% = 0,01 ) representado pela letra "i". Veja sobre isso nessa publicação.

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Porcentagem

É o número de centésimos existentes em uma grandeza. A porcentagem é a representação de uma fração onde o denominador é 100. Usamos porcentagem no nosso dia a dia quando vemos a promoção de um produto em uma loja ou quando atrasamos o pagamento de alguma conta por exemplo. Não há como escapar disso. Somos confrontados com questões envolvendo porcentagens também sempre que disputamos uma vaga, seja para um emprego ou vestibular.

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Regra de três

Nas publicações sobre grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais foram resolvidos problemas envolvendo regra de três simples. Veremos como resolver problemas que exijam o uso da regra de três composta e para isso seguiremos alguns exemplos.

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Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas a outra diminui com proporção igual ou diminuindo uma delas, a outra aumenta com proporção igual. Mais uma vez, será através de exemplos com exercício resolvidos que irei mostrar mais essa matéria de matemática cobrada em concursos e vestibulares.

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Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas a outra aumenta com proporção igual ou diminuindo uma delas, a outra diminui com proporção igual. Mais uma publicação sobre matemática para concursos onde veremos alguns exemplos de resolução de problemas.

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Probabilidades - Parte IV

Já foram mostradas diversas situações que envolvem probabilidades. Probabilidades - Parte I, Parte II e Parte III. Foi visto que a probabilidade de satisfazer sucessivas exigências é o produto das probabilidades de satisfazer cada uma delas. Ao multiplicarmos essas probabilidades, que no máximo são iguais a 1, geralmente obtemos a todas as exigências feitas. Vamos ver agora, situações em que duas ou mais probabilidades devem ser somadas.

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Probabilidades - Parte III

Já foram vistas situações na publicação Probabilidades - Parte I e em Probabilidades - Parte II, que abordam jogos de loteria e que envolvem sucessivas exigências. Verificamos que à medida que as exigências se sucedem, a probabilidade de satisfazê-las  vai diminuindo. Veremos agora como resolver situações que também possuem sucessiva exigências, mas onde uma dessas exigências é satisfeita por todos os resultados.

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Probabilidades - Parte II

"A probabilidade de satisfazer a sucessivas exigências, é o produto das probabilidades  que satisfazem a cada uma dessas exigências." É baseada nessa frase que foi criada essa publicação que dará continuação a publicação probabilidades - parte I. O assunto será multiplicação de probabilidades.

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Probabilidades - Parte I

Veremos através de exemplos, situações em que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer, não sendo possível prever qual deles vai realmente acontecer em cada caso. Isso se dá particularmente em jogos e sorteios.

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Combinações matemáticas

Na publicação anterior sobre matemática para concursos foi falado sobre análise combinatória. Ainda dentro desse assunto vou mostrar alguns exemplos de combinações matemáticas.

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Análise combinatória

A análise combinatória serve para descobrir qual é o número de ocorrências possíveis através da combinação de variáveis. A maneira mais fácil de entender sobre isso é vendo exemplos práticos e que serão mostrados nessa publicação. Se você vai prestar concurso ou vestibular, saiba que essa matéria é bastante cobrada.

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Sistemas de equações

Sistemas de equações são aplicados quando precisamos resolver problemas matemáticos que possuem duas incógnitas. Veja nessa publicação como resolvê-los pelo método de substituição.

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Produtos notáveis

Seguindo com as matérias que costumam aparecer nos concursos e vestibulares, será mostrado nessa publicação os principais casos que ocorrem nos produtos notáveis, tais como: Quadrado de uma soma, quadrado de uma diferença, diferença de dois quadrados, fatoração, cubo de uma soma e cubo de uma diferença.

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Operações com polinômios

Nessa publicação será brevemente apresentado como realizar operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, dando mais ênfase a operações de divisão.

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Radiciação - Parte IV

Essa será a última publicação sobre radiciação e nela falarei sobre cálculo de raiz cúbica. Mas somente sobre raiz cúbica exata já que o foco aqui são matérias para concursos e vestibulares. Seria bom você familiarizar-se com os demais cálculos de raiz antes de prosseguir na leitura dessa publicação. Para isso veja a parte I , a parte II e a parte III dessa matéria. Bons estudos.

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Radiciação - Parte III

Já foi falado sobre o que é radiciação na parte I dessa série de publicações. Já foi falado também sobre como resolver uma raiz exata na parte II e desta vez falarei como resolver uma raiz não-exata. Se você já víu as outras explicações não sentirá dificuldades agora.

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Radiciação - Parte II

Essa é a segunda parte da publicação sobre radiciação. Se você ainda não víu a primeira parte pode ver clicando aqui. Será mostrado como resolver raízes exatas.. A intenção era fazer tudo em uma só postagem, mas isso ficou impossível devido a extensão do assunto.

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